多主体时滞离散网络的一致性和周期性探讨

本节讨论离散系统的一致性算法在具有时滞情况下的稳定性.

考虑如下系统：

这里，τij（σt）∈ℕ，i，j=1，…，m，表示节点j到节点i随时间变化的时滞.当τij（σt）=0，称j到i的连接是瞬时的，否则是时滞的.这里，{σt}是一个适应过程{Ω，Ft，P}.设τM是时滞的上确界，则上式可写成如下一般形式：

为了表述简化，在本节中，对于正整数m，定义={1，…，m}.

在给出本节的主要结果之前，先讨论下述无时滞系统：

并引入下述引理（[22]中的定理2）.

引理8.3 系统（8.42）能实现几乎处处一致性的充要条件是对于几乎所有序列σt，存在无限个不相交的整数区间Ii=[ai，bi]，使得

其中，η（·）是矩阵的置乱（scrambling）系数.

基于上述引理，给出本节的理论基础.

定理8.2 如果存在整数l和正数δ＞0，使得如下矩阵乘积

几乎处处具有δ-生成树，则系统（8.42）可实现弱一致性.

证明：由定理的条件可知，的δ-矩阵是SIA的.由文献[23]中的引理2.8可知，存在正整数N，使得任何N个SIA-矩阵的乘积是置乱矩阵.再由适应过程的定义，可得

这意味着存在正数δ1＜δ，使得E是δ1-置乱阵.由此，由文献[24]中的引理3.12可看出，存在δ′＞0和正整数M1，使得

再由第二章中的第二Borel-Cantelli引理可知，事件{η（Ck）＞δ′}，k=1，2，…以概率1发生无限次.因此，由引理8.3导出定理的结论.

在下面讨论中，将系统（8.40）写为如下矩阵形式：

因此，讨论（8.40）等价于讨论（8.45）.定义一个由（τM+1）m个节点组成的“大”图G（B（σt）），记作，其中节点vi，j对应矩阵B（σt）的第（（i-1）m+j）行（或列）.

定理8.3 在条件A下，假设存在μ＞0，l∈N和δ＞0，满足：

（1）G0（σ）＞μIm对所有σ∈Ω成立；

（2）对所有n∈N以概率1具有δ-生成树，则时滞系统（8.40）能实现弱一致性.

其证明较复杂，可见文献[9].对于确定性的拓扑切换，文献[7，25]中有类似的结论.

下面给出一个简单的例子来阐述定理8.3的条件.考虑如下具有两个变量xt=[x1（t），x2（t）]，时滞为1的系统：

它可转化为一个4维无时滞系统yt+1=B（σt）yt，其中

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它可看作是如下两个矩阵B1和B2的周期性切换：

在时滞系统的语义下，相应的系统（8.40）中的随机矩阵（8.41）为

可见，图G（G1），G（G2）的联合图具有生成树和自连接.则由定理8.3的证明（见文献[9]）可知，存在正整数l，使得l个矩阵B1B2的乘积具有生成树且某个根节点具有自连接.例如，考察如下矩阵乘积：

其对应的图有4个节点，分别记为v1，1，v1，2，v2，1和v2，2.由图8.1可知，B1B2对应的图具有生成树，且v1，2是根节点，具有自连接.由定理8.3，系统可达到一致.

图8.1　矩阵B1，B2，矩阵乘积B1B2分别对应的图

在某些情形下时滞也会出现在节点的自连接上.例如，节点需要时间来处理自身的信息.假设自连接的时滞都是一样的，即τii=τ0＞0.此时，可将整数t通过模mod（t+1，τ0+1）运算建立一个商群（ℤ+1）/（τ0+1）.对于两个整数i和j，定义其商{kj+i：k∈ℤ}为〈i〉j.以后，若无其他说明，默认〈i〉τ0+1为〈i〉.

下面的讨论，对于Gτ（·），还需要作下述假设B.

B.1 存在μ＞0，使得（σ1）＞μIm对所有σ1∈Ω成立；

B.2 存在τ1，…，τK，其中不包含〈0〉中的整数，使得最大公约数gcd（τ0+1，τ1+1，…，τK+1）=P＞1，且满足：

（1）对于所有j∉{τ1，…，τK}和所有σ1∈Ω，

（2）的δ-矩阵对于所有n∈ℕ以概率1非零，这里

由是，可给出如下定理.

定理8.4 假设Gτ（·）满足A和B.如存在l∈ℕ和δ＞0，使得对所有n∈ℕ，条件期望以概率1为δ-强连通，则系统（8.40）以概率1弱一致性到一个P-周期轨道.特别地，当P=1时，（8.40）可实现弱一致.

其证明可见文献[9].

由此定理可知，在具有自连接时滞时，弱一致性与一致性并不等价.

在定理8.4中，要求对应的δ-图是强连通的.而在定理8.3中，仅要求具有生成树.因此，定理8.4中的要求更苛刻.下面的例子说明这个强连通条件是不可缺的.

考虑一个维数为2、最大时滞为3的系统（8.45），相应的矩阵B有如下形式（静态）：

这里，τ0=1.显然，对应的子图不是强连通的，因为在对应〈1〉和〈0〉的子图之间只有一条边.通过计算可知，对应矩阵乘积σ1σ1…σ1σ1有如下等价形式：

其对应的图可见图8.2（使用（8.45）中的标号方式）.可见该拓扑不具有生成树，因为节点v1，2和v2，2没有其他节点与之连接.事实上，矩阵B（σ1）的特征根包含1和-1.由文献[23]中的定理8.2可知，对应的系统（8.44）无法实现一致.

前面的讨论都限于具有自连接的图.以下部分简要地讨论节点可不具有自连接的更一般情形.由前所述，时滞系统（8.40）等价于高维无时滞系统（8.45）.因此，按照（8.45），可构造一个新图G′（·），具有m×（τM+1）个节点：{vij：i∈，其边按矩阵B（·）定义，其中节点vij对应B的（i-1）×（τM+1）+j行（列）.定义子图对应节点集合{vij：i∈〈p〉，j∈}.由定理8.2，可有如下命题（其证明类似定理8.3和8.4的证明）.

图8.2　矩阵乘积（8.46）对应的图拓扑结构

命题8.8 设条件A成立，且存在l∈ℕ，δ＞0，使得对所有n∈ℕ以概率1具有δ-生成树并且某个根节点具有自连接，则系统（8.42）可达到弱一致.

实际上，在上述命题的条件下，以概率1是SIA阵，本命题可由定理8.2得到.

在没有自连接的情形下，有如下结果，可视为命题8.8的推论.

命题8.9 假设条件A和B.2满足（B.1未必满足）.同时还存在l∈ℕ和δ＞0，使得对所有n∈ℕ和以概率1是δ-强连通的，且至少一个节点有自连接（的定义见文献[9]），那么，系统（8.40）弱一致到一个P-周期轨道.特别，当P=1，系统（8.40）可达到弱一致.