无界时滞下μ-弱一致性问题的研究

在本节中，考虑时滞仅出现在非对角元素上，即仅在不同节点通讯之间会存在时滞，而节点在接收自己的相关信息时不会产生时滞.第七章第1节也详细研究过这类模型的同步问题.关于含有该类时滞的弱一致性问题，文献[18]考虑了下述模型：

而在文献[19，20]中，一个更加一般的异步时滞模型被提出来：

利用Laplace变换，证明了对任何固定时滞，上述模型可渐近实现弱一致性.

但是，在现实世界中，时滞总是要变化的.因此考虑下述时变时滞模型：

上述方程也可写成

其中Ai=，即节点i的加权入度.对于矩阵A，假设A∈A1，其中A1的定义见第七章.记Laplace矩阵为L.显然Im-L是邻接矩阵，记为A.因此，（8.32）可写为

其中x（t）=[x1（t），…，xm（t）]⊥.

定义8.1 矩阵B称为列可分的，如果其可以分成两个不相交的列向量构成的子集B1，B2，使得任意c∈B1，d∈B2，c⊥d=0.若矩阵不是列可分的，则称其为列不可分矩阵.

接下来，需要讨论不可分矩阵与其他矩阵的关系，如可约（不可约）矩阵、对称（非对称）矩阵等.事实上，可以很容易地找到下述例子，如

因此，列不可分矩阵是一个新的矩阵分类方式.

引理8.2 假设L是不可约的.ξ=[ξ1，…，ξm]⊥是L对应零特征根的规范左特征向量（满足各分量为正，行和为1）.记Ξ=diag｜ξ｜及U=，则有

更多地，当Im-L是列不可分矩阵时，则存在c★＞1，使得

由此可知，B是非对角元素非负、行和为零的对称矩阵.故B≤0.

由于Im-L是列不可分矩阵，故B是不可约的.反之，若B是可约的，又因为B是对称的，通过重排指标顺序，B一定可以写成下述形式：

其中，即bjk=0，j=1，…，m1；k=m1+1，…，m.根据（8.35）中bjk的定义，可知.此方程与Im-L是列不可分矩阵矛盾.

综上所述，如果Im-L是列不可分矩阵，则B是不可约的、对称的和非负半正定矩阵.

进一步，ℝm可分解成ℝm=CS⊕TS，其中CS={u∈ℝm，ui=uj，i，j=1，…，m}为同步子空间，而TS==0}为（正交）横切子空间.

易知，B在CS上的限制B｜CS=0.又由于B不可约，B在TS上的限制B｜TS是负定的.显然，λ2是B｜TS上的最大特征根，且λ2＜0.因此，

即

定义一致性能力指标(www.xing528.com)

于是c★＞1.引理得证.

上述引理保证了列不可分矩阵一致性能力指标c★的存在.另一方面，存在一些矩阵Im-L是列可分的，但是对任意c＞1，

上式意味着关系（8.37）成立.

下面讨论无界时滞时的μ-弱一致性.

定理8.1 假设单调非降可微的函数μ（t）满足

时滞τ（t）（可能时变、无界、不可导）满足

这里β，η＞0.Im-L是列不可分矩阵，且

其中c★是（8.36）定义的一致性能力指标，则系统（8.33）可实现μ-弱一致性，即

其中M为某常数.

证明：由条件（8.38）可得0≤β＜1/2.综合定理的条件可知，存在T＞0，使得当t≥T时，

对于t≥T，定义函数

及F（t）=sups≤tf（s）.

下面将证明F（t）是有界的.

对于任何时刻t0，如果满足f（t0）＜F（t0），则存在δ＞0，使得当t∈（t0-δ，t0+δ），f（t）＜F（t0）始终成立.如果在某个时刻t0，f（t0）=F（t0），由定义，其导数为

下面两个结果是定理8.1的直接推论.

推论8.2 （幂弱一致性）假设Im-L是列不可分矩阵，τ（t）≤θt，0≤θ＜1，则系统（8.33）能够实现幂弱一致性，即收敛速度为O（t-γ），其中γ是充分小的常数，满足-1+（1-θ）-2γ/c★＜0.

实际上，只须在定理8.1中令μ（t）=tγ.

推论8.3 （指数弱一致性）假设Im-L是列不可分矩阵，τ（t）≤τ，则系统（8.33）能够实现指数弱一致性.

实际上只须在定理8.1中令μ（t）=eβt（β＞0待定）.对相关详细叙述有兴趣的读者可参看文献[21].