在自然界中，有些生物振子（如萤火虫、蟋蟀、心脏起搏细胞等）是通过脉冲形式的信号来相互传递信息的.由这样的振子组成的系统通常被称为脉冲耦合系统或脉冲耦合网络.人们发现，虽然耦合时间比较短，但一些脉冲耦合网络也可以表现出同步性.其中最壮观的当属萤火虫的同步发光.在文献[20]中，作者描述到“所有的萤火虫都以每2秒3次的速率完美地闪烁”.关于萤火虫同步现象的解释，美国生物学家Buck做了大量开创性的工作（[21]）.在文献[22]中，Mirollo和Strogatz引入了一个非常漂亮的脉冲耦合振子模型（MS模型）.这个模型揭示的是东南亚萤火虫（Pteroptyx malaccae）的同步，该模型并没有考虑传递时滞.自然要问，传递时滞会带来什么效果？本节将回答这个重要的问题：证明在某些合理假设下，含有时滞的脉冲耦合振子网络不能够达到完全同步.这也就解释了为什么另外种类的萤火虫（Photinus pyrali）鲜有同步发光.
首先介绍一下MS模型.该模型是一个由m个节点组成的网络.每个节点都由一个状态变量xi（t）来描述.并且假设xi按照规则xi=f（φi）由下阈值xi=0
连续地增长到上阈值xi=1，其中势函数f：[0，1]→[0，1]是一个光滑、单调递增并且上凸的函数.即对所有θ∈（0，1），有f′（θ）＞0，f″（θ）＜0，其中φi∈[0，1]是一个相变量，满足：
（1）dφi/dt=1；
（2）当xi=0时，φi=0；
（3）当节点i到达上阈值xi=1时，φi=1.
因此，f（0）=0，f（1）=1.(www.xing528.com)
在没有耦合时，节点按如下规则实现周期激发：当xi达到上阈值1时，节点i激发，同时xi立即跳回到下阈值0，并开始下一个周期.用数学语言来描述，就是
MS模型中的整个网络通过下面的全连接脉冲方式相互耦合：当一个给定的节点在t时刻激发时，它使所有其他节点的状态变量提升ε个单位，或者直接提升到上阈值1，其中ε被称为网络的连接权.用数学语言描述就是
Mirollo和Strogatz证明了：不论网络的节点数m有多大，不能实现完全同步的初始值所组成的集合至多是个零测集.
接下来，定义含有时滞的兴奋连接的脉冲耦合模型，即带耦合时滞的MS模型.
设系统是由m≥2个带耦合时滞的脉冲耦合振子组成的网络.假定所有节点都具有相同的动力学行为，并且网络是通过全连接方式相互耦合的.即每个节点之间都存在连接.因为引入了耦合时滞τ，所以在模型中节点通过下述的方式相互作用：当一个给定的节点在时刻t激发时，它发出一个脉冲，经过时滞τ之后，该脉冲到达所有其他的节点，从而使得其他节点的状态变量提升ε，或者直接提升到上阈值1.用数学语言来描述如下：
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