时滞复杂系统的动力学行为及影响

时滞复杂动力系统的数学理论源于经典的泛函微分方程和动力系统.与非时滞系统类似，动力系统理论描述时滞复杂系统的动力学行为（[1]），可描述不同实践背景中的时滞系统.系统的复杂性与时滞交互影响可产生丰富的动力学行为，最简单的情形是稳定平衡点.尽管形式简单，但仍是最重要的吸引子类型.例如，在控制系统中，平衡点刻画了控制的目标；在神经网络系统中，平衡点刻画了神经优化计算的解.轨道稳定性是更一般的稳定性，刻画特定轨道的吸引性，如常见的周期（概周期）轨道稳定性.这类稳定性有时也伴随着分簇和不连贯模式，比如多稳态，包括多稳定周期（概周期）轨道的存在性.递归神经网络系统通过多稳态实现多模式识别和联想记忆.流形稳定性也是重要的稳定性，它描述一类中心稳定性，系统并不收敛到特定轨道，而是收敛到降维的流形.物理、生物与工程中常见的同步问题，可视为同步子空间（子流形）的稳定性.复杂系统中子系统的非线性、子系统间的相互作用以及时滞，大大增加了这些稳定性分析的难度.特别地，系统的不连续性对其稳定性分析提出了新的技术要求.

成熟的时滞系统理论，或者说时滞微分和差分系统理论（[2]），为此类问题的分析提供了技术手段.然而，当应用到分析具体的复杂时滞系统时，实践层面的需求使得现有方法尽管可提供研究思想上的指导，具体实践仍显不足.例如，不动点原理是经典的证明平衡点/周期解/概周期解存在的技术手段，但是对于复杂时滞系统，条件验证非常复杂；Lyapunov-Krasovskii泛函方法可用于处理时滞系统的稳定性，给出充分性判据，但是对于工程系统，更重要的是如何利用这些判据用于分析与设计系统结构；Halanay微分不等式是分析时滞系统收敛性的有效工具，但是在具体模型中出现时变情形时，还须对其进行推广和发展；现有时滞系统分析理论常常基于有界时滞的假设，而现实中时滞可能是无界的，比如采样时滞，经典方法很少有能处理无界时滞的问题.不仅如此，在复杂系统特别是网络化复杂系统背景下，其他理论和工具，包括统计物理、图论、概率理论、仿真与优化工具的协同使用，也是分析复杂时滞系统的必要技术手段.(www.xing528.com)

本书关注两类时滞复杂系统：时滞递归神经网络系统和时滞复杂网络系统.它们构成本书的两大部分.下面两节将分别介绍这两类系统的模型及其应用背景.