研究方法：如何科学有效的研究？

有限元单元法是工程和研究中广泛应用的针对固体力学问题的数值求解方法。一般采用的是位移法有限元，以加权余量法和变分原理为基础，采用化整为零的思想，选择合适的单元类型将求解域按单元划分，分片假设插值形函数，建立单元刚度矩阵，再通过节点位移连续条件集合成整体刚度矩阵，之后利用边界条件求解刚度方程，得到节点位移，进而可由形函数得到单元各点位移值，相应的应变和应力通过几何方程和物理方程得到。有限元法又可分为线性有限元法和非线性有限元法，一般从几何、材料、边界三方面来区分。线性化假设通常包括节点位移为小量、材料为线弹性、边界条件保持不变，其中任何条件不满足都将成为非线性问题。对于静力学问题，非线性在平衡方程中的体现主要是刚度和等效力是位移或位移关于时间的导数的函数，在求解这样的非线性方程组时，无法直接消元求解，必须使用不同的迭代法，结果需由收敛准则鉴定。

图11.1　弧长法求解过程

本文研究的弹性受限压溃问题包含了几何非线性和边界非线性，可采用通用有限元软件ABAQUS进行非线性屈曲求解。ABAQUS提供了显式求解器和隐式求解器，前者采用动态方法从一个增量步推至下一个增量步来求解，没有收敛问题，计算较快但易存在精度问题，可在求解过程中通过适当延长分析时间，将其处理为准静力计算过程来解决屈曲问题。后者使用增量迭代法，每一步都需要求解计算整体刚度矩阵，结果较精确，但存在计算量大和收敛问题，对于屈曲失稳问题在隐式中的求解，可使用静态分析。在使用Newton-Raphson法时，由于该迭代算法本身无法跨越结构非线性平衡路径上的极值点，且所研究的受限问题本身存在大量接触易收敛困难，不能保证得到正确的屈曲结果，可采用在计算中人为增加一个较小阻尼的方法来帮助收敛，但结果和真实值相比要小。除此之外，为应对Newton-Raphson法的缺陷，可使用Riks（弧长法）来解决非线性问题的邻近极值点求解，该方法是求取与解曲线正交的线族与解曲线相交的交点，如图11.1所示，由于解曲线自身未知，其正交线族事实上也未知，但在迭代过程中可将前一次增量的收敛解或前次迭代解得路径的切线近似作为下次迭代解的切线。设荷载参数为λk时位移xk已知，载荷参数增量为Δλk时，相应的位移增量为Δxk，则

对于弧长法而言，上式中Δxk和Δλk均为未知，需要加入一个附加条件，即辅助方程f（Δxk，Δλk）=Δlk（Δlk即为增量弧长），才可求解出Δxk和Δλk。(www.xing528.com)

由此看出，运用弧长法求解时可以跨越极值点，且能在迭代求解过程中自动调节增量步长，跟踪各种复杂的非线性平衡路径全过程［1］，能够同时求出最大临界荷载和屈曲后的初始响应。在ABAQUS中，一般采用修正的弧长法，无论响应是否稳定都可使用。具体使用该法进行屈曲分析时，需要首先施加一个微小的缺陷，作为引发屈曲的初始扰动，对于干压溃模式等椭圆失稳，一般在弧长法计算之前进行线性屈曲特征值分析，得到一阶屈曲模态，将该模态以位移的形式加在原模型节点坐标上构成带有微小椭圆度的形状，而对于受限压溃模式，该扰动可以以微小集中力［2-3］或位移的形式施加在内层顶部，并在后续弧长法分析步中去除，为保证无缺陷分析前提，初始椭圆度和顶端扰动均需进行敏感性分析。

Riks方法虽可得到明确的屈曲极值点，但对于存在接触问题的模型来说不易收敛，需要多次调试甚至也有可能无法调试出收敛的结果，因此还可使用隐式动态分析（dynamic implicit）中的准静态法来进行屈曲问题的计算，该法时间积分用的是向后欧拉算子，其中相当大的能量耗散提供了其计算的稳定性，用于确定基本静态解的改进的收敛行为，该方法所得的荷载位移曲线没有明显的下降段，但可通过曲线斜率的变化确定屈曲极值，其结果正确性可通过弧长法计算结果进行验证。在本章的分析中，将根据具体问题的求解情况和适用性，选择使用后两种方法来进行屈曲荷载的计算。