圆管稳定理论的经典探究

根据相关文献的分析，在研究非粘结柔性管中抗外压的骨架层时，可将其等效简化为圆环、正交各向异性或简单的各向同性管，等效准则主要包括面积相等、弯曲刚度相等或基于应变能的等效。对于圆环的弹性受压稳定理论，Timoshenko［2］在前人研究的基础上总结推导了中心线为圆弧的细曲杆微弯曲的挠度曲线，假设微段的径向位移为小量，并忽略切向位移，得出该挠曲线的微分方程：

式中　w——细杆的径向位移；

θ——环向角度；

M——施加在曲杆截面上的弯矩；

R——细杆的曲率半径；

EI——曲杆初曲率截面的弯曲刚度。

图10.1　外压下圆环受力变形简图［2］

对于均布外压下圆环屈曲压力，Timoshenko针对中心线不可伸长的理想环，研究当圆环平衡位置发生微小挠曲时，该环在所设微变形下保持平衡的均布压力。本节对该方法进行简单介绍。

如图10.1所示，由于在均布压力下，该环为轴对称变形，因此取一半圆环来分析，虚线代表圆环原始位置，实线部分为均布压力下有微小挠曲环的位置，w为任意点的径向位移，w0为点A和B的径向位移，AB和OD为屈曲环对称轴，截去的下半部分对上半部分的作用由纵向力F和弯矩M0来表示，P表示环中心线单位长度均匀正压力。则A和B处的压力为

结合变形前后几何关系，略去微量的平方项，屈曲环任意截面的弯矩可表示为

代入式（10.1），可得

求解该式w的通解并考虑该屈曲环边界条件：

就可以得到临界压力值公式，代回可求出w=w0cos 2θ，该式可作为椭圆初始缺陷表达式。按照API-17J［3］对椭圆度Δ0的定义：

w0可表达为w0=RΔ0，挠度缺陷函数又可写为w=RΔ0cos 2θ。

计算非粘结柔性管的干压溃时要考虑完整截面，对于其中的圆筒层可考虑无限长管的弹性屈曲解法，即将E替换为以代替I。下面从非线性壳理论角度对其进行简易介绍。参看图10.2，在均布外压下，Kyriakides［5］考虑沿轴向统一变形的管道，只计算环向应变影响，定义非线性、小应变、小转角的环向应变如下：

图10.2　管道截面变形前后与中面位移定义［4］

其中，

式中　——环中心线的轴向变形；

ρκθθ——曲率变化引起的环向应变；(www.xing528.com)

v、w——环中线，即圆环平均半径的环向位移和径向位移；

ρ——截面上任一点到环中线的距离。

系统总势能表达式如下：

其中截面轴力Nθθ和截面弯矩Mθθ分别为

通过对式（10.9）取变分为0可以求出平衡方程，经线性化简并引入屈曲模态w=a cos nθ和v=b sin nθ建立分枝屈曲方程：

通过系数矩阵行列式为0可求得一系列特征值：

如果没有层间缝隙，非粘结柔性管的弹性屈曲压力可通过上式利用叠加原理，将抗外压相关层的屈曲值加和求解：

式中　——每层单位长度等效环截面惯性矩；

——等效截面弯曲刚度。

对于圆筒层：

对于单位长度自锁铠装层：

式中　n——层内的螺旋线数量；

Lp——螺距；

α——螺旋铺设角度；

I2′——截面弱轴惯性矩，可通过惯性张量特征值求得；

K——与缠绕角度和截面惯性矩有关的系数，对于大多数截面，K≈1。

该方法和Neto［1］方法的思想一致。