离散化对分布平衡点计算的误差问题

摄像机成像是指被摄物体的图像经过镜头聚焦至CCD芯片上，CCD上各个像素根据所在区域光的强弱积累相应比例的电荷，各像素积累的电荷在时序控制下，逐点外移，经滤波、放大处理后，形成图像信号输出。因此摄像机成像是将连续分布的图像能量密度函数以像素为间隔进行离散化采样，测量对象由原始的连续分布变成了离散化采样后的失真分布，这种离散化误差必然存在，尤其对覆盖范围较小的特征点，该误差成为提高提取精度的关键。离散化采样过程如图1所示。

图1 离散化采样过程

a）一维图像能量密度函数 b）离散化采样分布函数 c）二维离散化采样分布

Fig.1 Process of discrete sampling

a）One-dimensional image energy density function b）discrete sampling distribution function c）two-dimensional discrete sampling distribution

图1a表示特征点图像能量密度函数x方向分布函数，摄像机离散化采样是以像素为单位对密度函数进行分段积分，得到图1b的灰度采样分布。而图1c所示的采样分布是二维密度函数经过摄像要离散化采样得到的。

在高精度摄影测量中，常常采用红外LED作为稳定的特征点来源，其图像能量密度函数近似于二维高斯函数分布，为图像恢复提供了较好的前提，即

式中，（x₀，y₀）为真实中心坐标；σ为高斯函数的标准差；I₀为总能量。(www.xing528.com)

则（x，y）像素的密度函数采样值I_xy为

在图像处理算法中，质心法和高斯曲线拟合法是特征点提取的主要亚像素算法，它们都是基于特征点中心位置和灰度值的数学模型来确定特征中心。质心法是特征点在图像平面成像时，图像能量密度函数一阶空间矩和零阶空间矩的比值，由像平面的能量重心代替真实中心，即满足

式中，X_Z、Y_Z是计算出来的质心；A_xy为处理窗口，它包含了特征点所有的有效像素点。但是真实图像是通过离散采样的，只能使用像素点位置的采样值来代替连续积分，则式（3）可写成

计算方式由区域连续积分变成了离散点求和，X_Z′、Y_Z′是新计算出来的质心，A_x、A_y分别为A_xy的x、y方向的分布范围。由于以像素几何中心坐标代替连续积分，质心法求解结果必然带有误差，只有在特征点能量密度函数的平衡点恰好是像素几何中心位置时，计算结果才相同的。

其他算法和质心法一样，都是以离散化采样后的像素几何中心坐标来代替原有的连续积分参加计算的，即其计算结果都是失真后的分布平衡点，则必然和原始函数的平衡点有一定误差，只要离散化采样后的函数与原始函数存在失真，这种误差就一直存在，无法消除。但由于摄像机自身像素尺寸加工受限，无法一直缩小来提高采样频率；接收器件超过最高限度就会饱和，信号周期无法一直增大；处理窗口由于要抑制噪声水平而不宜过大，致使采样长度过低，因此离散采样后图像与原特征点信号存在的失真不可避免，失真所引起的误差可认为是图像处理过程中的主要误差。

离散化采样引起的误差大小可利用对一维运动的特征点进行拍摄提取来确定，x和y方向在计算时具有同等的地位，因此只对x方向进行分析，图2为不同提取算法x方向的实际提取坐标和理论坐标比较。图2中虚线为理论坐标，实线表示实际提取坐标，两者之间的偏差便是图像处理误差。对于质心类或拟合类等不同算法，误差形式基本一致，仅大小略有不同，误差呈现出像素的周期性变化^[15，16]，只有当真实中心恰好是像素几何中心位置时，误差基本为零，与之前分析一致。如果能对此误差进行分析和补偿，便可有效提升算法精度。

图2 图像处理误差 Fig.2 Errors in image processing