叶片振动信号的采样与重建技术

叶片的振动模型可视为单自由度简谐振动，用正弦函数表示为

s（t）=Acos（2πft+φ） （1）

式中，A、f和φ分别表示振幅、频率和初始相位。因此简谐振动信号可视为带限信号。如图1所示，通过安装在机匣上的若干支叶尖定时传感器对叶片经过时刻进行采样，图1中β即为传感器安装间隔角度。将采样得到的时间序列转换成位移信号，每支传感器在转子旋转周期内采集的信号数等于叶片个数，单个叶片振动信号是一系列离散的脉冲序列，采样频率取决于转子转速和传感器数量，难以满足采样定理两倍于叶片振动频率的要求。

图1 叶尖定时采样时序脉冲

根据香农采样定理，带限的连续信号可以通过一系列离散脉冲重建

式中，s_AC是采样信号经希尔伯特变换后得到的解析信号；f_s为采样频率；k为采样点序号；s_C（t）为复信号。而带宽为B，中心频率为f₀的实信号可通过式（3）进行插值重构。

这样的重构方式只要满足s（t）采样频率f_s＞B，而不要求f_s必须大于2倍的信号最高频率f₀+B/2，因此理论上可用于欠采样的带限信号恢复。但由于采样函数sint/t时域衰减很慢，理论上在重构任意点信号时就将利用无穷多采样点从而在频域造成较大截断误差。采用分段连续的时限函数K（t）作为重构的插值核函数，根据有限的采样点数据用重构原函数能有效减小此类误差。设K（t）在区间[-T，T]内有效，将其代替式（2）中的采样函数并结合式（3）可以得到信号重构公式

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由于样条函数是一种紧支撑的简单函数，又具有控制样条曲线零交叉个数和形状的“安全性”，故常用来构造插值核函数，其中高阶B样条构造的核函数具有良好的光滑性，且能在时限范围内逼近采样函数^[13-14]。n阶B样条函数定义为

插值核函数为

式中，D^2lB_n（t）表示B_n（t）的2l阶导数，它满足关系式

D²B_n（t）=B_n-2（t+1）-2B_n-2（t）+B_n-2（t-1） （7）b_ln是通过式（8）确定的系数

由B样条函数的性质可知，在区间[-n/2，n/2]之外K_n（t）=0，所以重构任意时刻t的振动信号只需利用前后共n个采样点数据。根据文献[14，15]，利用B样条函数构造的1～6阶核函数可表示为

式中，K₁（t）可认为是采样保持函数；K₂（t）是线性插值函数。