如何确定滑动跨度是LMD算法应用的关键问题

LMD是一种新的自适应时频分析方法，最先由Jonathan S.Smith提出，将其应用于脑电图的信号处理并获得了较好的效果^[24]。LMD方法自适应地将一个复杂得多分量信号分解为若干个瞬时频率具有物理意义的PF（Product Function）分量之和，其中每一个PF分量由一个包络信号和一个纯调频信号相乘而得到，LMD方法可根据信号自身的特点，自适应地选择频带，确定信号在不同频带的分辨率，提高了提取有效信息的准确性，非常适合多分量的非线性、非平稳信号，已应用于焊接领域^[8]。

LMD实质上是一个将多分量的信号分解为一系列的单分量信号的解调过程。对于任意信号x（t），其分解过程如下：

1）首先确定待分解信号x（t）的全部局部极值点n_i，利用式（4-44）和式（4-45）计算相邻两个极值点n_i和n_i+1的局部均值m_i和局部包络估计值ai

2）将计算所得全部相邻的局部均值m_i以及局部包络估计值a_i用折线相连，再对其进行滑动平均处理，最终得到光滑的局部均值函数m₁₁（t）和包络估计函数a₁₁（t）。取最长局部均值的三分之一为滑动平均的跨度，如何确定滑动跨度是LMD算法应用的关键问题。设原来的序列为y（i），i=1，2，…，n，则对应的滑动平均的公式为

2）将计算所得全部相邻的局部均值m_i以及局部包络估计值a_i用折线相连，再对其进行滑动平均处理，最终得到光滑的局部均值函数m₁₁（t）和包络估计函数a₁₁（t）。取最长局部均值的三分之一为滑动平均的跨度，如何确定滑动跨度是LMD算法应用的关键问题。设原来的序列为y（i），i=1，2，…，n，则对应的滑动平均的公式为

其中，2N+1为滑动平均的跨度，滑动跨度要求必须是奇数。

在序列两端端点附近，应该适当减小滑动跨度，前提是不能超过序列的端点，比如跨度为5的滑动平均，在序列端点附近的定义如下：

y_s（1）=y（1）

y_s（2）=[y（1）+y（2）+y（3）]/3

y_s（3）=[y（1）+y（2）+y（3）+y（4）+y（5）]/5

y_s（4）=[y（2）+y（3）+y（4）+y（5）+y（6）]/5

…

如果经过平滑处理之后，仍有相邻点为等值，则需要再次平滑，直到任意相邻两点不相等为止。

3）从原始信号x（t）中分离出局部均值函数m₁₁（t），然后用包络估计函数a₁₁（t）对分离后的信号进行解调，得到

h₁₁（t）=x（t）-m₁₁（t） （4-47）

s₁₁（t）=h₁₁（t）/a₁₁（t） （4-48）

理想情况下，s₁₁（t）应该为纯调频信号，也就是说它对应的包络函数a₁₂（t）应当满足条件a₁₂（t）=1。若s₁₁（t）不是纯调频信号，则将其作为原始信号重复之前的迭代过程，直到s_1n（t）为纯调频信号为止，即s_1n（t）的取值范围满足-1≤s_1n（t）≤1，并且其包络估计函数a_1（n+1）（t）满足条件a_1（n+1）=1。因此有

其中，2N+1为滑动平均的跨度，滑动跨度要求必须是奇数。

在序列两端端点附近，应该适当减小滑动跨度，前提是不能超过序列的端点，比如跨度为5的滑动平均，在序列端点附近的定义如下：

y_s（1）=y（1）

y_s（2）=[y（1）+y（2）+y（3）]/3

y_s（3）=[y（1）+y（2）+y（3）+y（4）+y（5）]/5

y_s（4）=[y（2）+y（3）+y（4）+y（5）+y（6）]/5

…

如果经过平滑处理之后，仍有相邻点为等值，则需要再次平滑，直到任意相邻两点不相等为止。

3）从原始信号x（t）中分离出局部均值函数m₁₁（t），然后用包络估计函数a₁₁（t）对分离后的信号进行解调，得到(www.xing528.com)

h₁₁（t）=x（t）-m₁₁（t） （4-47）

s₁₁（t）=h₁₁（t）/a₁₁（t） （4-48）

理想情况下，s₁₁（t）应该为纯调频信号，也就是说它对应的包络函数a₁₂（t）应当满足条件a₁₂（t）=1。若s₁₁（t）不是纯调频信号，则将其作为原始信号重复之前的迭代过程，直到s_1n（t）为纯调频信号为止，即s_1n（t）的取值范围满足-1≤s_1n（t）≤1，并且其包络估计函数a_1（n+1）（t）满足条件a_1（n+1）=1。因此有

式中

式中

迭代终止的条件为

迭代终止的条件为

在应用过程中，可以将迭代终止条件设为一个变动量Δ，当其满足条件1-Δ≤a_1n（t）≤1+Δ时，迭代终止。

4）将迭代过程中产生的所有包络估计函数累乘即可得到瞬时幅值函数，即包络信号

在应用过程中，可以将迭代终止条件设为一个变动量Δ，当其满足条件1-Δ≤a_1n（t）≤1+Δ时，迭代终止。

4）将迭代过程中产生的所有包络估计函数累乘即可得到瞬时幅值函数，即包络信号

5）将上一步所得包络信号a₁（t）和已经求得的纯调频信号s_1n（t）相乘即可得到第一层PF分量

PF₁（t）=a₁（t）s_1n（t） （4-53）

该分量是一个单分量的调频-调幅信号，它对应于原始信号中包含的最高频的成分，包络信号a₁（t）即为其瞬时幅值，其瞬时频率f₁（t）可由s_1n（t）经反余弦求得，即

5）将上一步所得包络信号a₁（t）和已经求得的纯调频信号s_1n（t）相乘即可得到第一层PF分量

PF₁（t）=a₁（t）s_1n（t） （4-53）

该分量是一个单分量的调频-调幅信号，它对应于原始信号中包含的最高频的成分，包络信号a₁（t）即为其瞬时幅值，其瞬时频率f₁（t）可由s_1n（t）经反余弦求得，即

6）从原始信号x（t）中分离出第一层PF分量PF₁（t），将得到的信号u₁（t）作为新的原始信号重复之前的迭代过程k次，直到把原始信号对应的趋势分量u_k分离出来为止。

6）从原始信号x（t）中分离出第一层PF分量PF₁（t），将得到的信号u₁（t）作为新的原始信号重复之前的迭代过程k次，直到把原始信号对应的趋势分量u_k分离出来为止。

7）至此，原始信号x（t）被分解为k个PF分量和一个趋势分量函数u_k之和，即

7）至此，原始信号x（t）被分解为k个PF分量和一个趋势分量函数u_k之和，即

针对目前局部均值分解算法容易产生相位差，使得分解结果失真等问题，将线性插值方法引入到LMD分解过程中，提出了基于线性插值的局部均值分解方法，具体过程为：首先用插值的方法由原始信号的上极值点和下极值点分别求上包络函数env_max（t）和下包络函数env_min（t），然后由上下包络函数的均值求出局部均值函数m_i（t），由上包络减去下包络函数的绝对值的一半求出包络估计函数a_i（t），即

针对目前局部均值分解算法容易产生相位差，使得分解结果失真等问题，将线性插值方法引入到LMD分解过程中，提出了基于线性插值的局部均值分解方法，具体过程为：首先用插值的方法由原始信号的上极值点和下极值点分别求上包络函数env_max（t）和下包络函数env_min（t），然后由上下包络函数的均值求出局部均值函数m_i（t），由上包络减去下包络函数的绝对值的一半求出包络估计函数a_i（t），即

用以上二式代替原始LMD算法中利用滑动平均求解局部均值函数和包络估计函数的过程，即得到了基于插值法的局部均值分解。

用以上二式代替原始LMD算法中利用滑动平均求解局部均值函数和包络估计函数的过程，即得到了基于插值法的局部均值分解。