计算抽样误差的方法

由于样本抽取的方法分为重复抽样和不重复抽样两种，而且抽取的样本指标又分为样本平均数与样本成数，所以，抽样误差的计算必须分不同情况按下述方法进行。

（1）平均数的抽样误差的计算

1）重复抽样的抽样误差的计算。重复抽样情况下的平均数抽样误差的计算，可按下列公式进行

式中μ_x——抽样误差；

σ²——全及总体方差；

n——抽样数目。

2）不重复抽样的抽样误差的计算。不重复抽样情况下的平均数抽样误差的计算，可按下列公式进行

式中N——全及总体单位数。

当全及总体单位数N很大时，（N-1）接近于N，当用N替代（N-1）时，上式又可化简为

分析以上公式可以看出，重复抽样与不重复抽样的误差计算公式是不同的。不重复抽样的误差计算公式，与重复抽样的误差计算公式的差别在于，不重复抽样的误差计算公式的根号下，多乘了一个修正系数。因为总是一个小于1的正小数，则的值总是小于1。而σ乘上一个小于1的修正系数，其值总比σ的值小。即

因此，不重复抽样所得的抽样误差总是小于用重复抽样所求得的抽样误差。即

由于以上公式中的σ是全及总体的标准差，而事先又无法知道σ的具体数值，所以，实际计算时，常用两种方法来代替σ的值。其一为根据所抽取的样本指标计算出的样本标准差来代替全及标准差σ；其二是用历史资料中的类似检测的标准差来代替此次抽检的全及标准差σ。

【例3-1】 某厂生产了A产品20000件，进行抽样检测产品使用寿命时，随机抽取了1000件产品进行检测，根据实测数据计算出的平均寿命为x=300h，标准差为σ=10，试根据重复抽样与不重复抽样的方法，分别计算抽样误差的值。

解 ①按重复抽样计算抽样误差。

已知：n=1000，σ=10

根据重复抽样误差的计算公式得

②按不重复抽样计算抽样误差。

已知：n=1000，σ=10，N=20000

根据不重复抽样误差的计算公式得

根据上述的计算结果可看出：不重复抽样的抽样误差小于重复抽样的抽样误差。

在实际的抽样检测工作中，多采用不重复抽样的方法进行抽样检测，但为了计算简便，可采用重复抽样的计算公式进行抽样误差的计算。因通常的抽样比例较小，多在5%左右，由此计算出的接近于1。因此，乘以修正系数也接近于。所以采用重复抽样误差的计算公式可简化抽样误差的计算过程，而且这样计算是可行的。(www.xing528.com)

（2）成数的抽样误差的计算

1）重复抽样的抽样误差的计算。

重复抽样情况下的成数抽样误差的计算，可按下列公式进行

式中μ_x——成数的抽样误差；

P——总体成数；

n——抽样数目。

2）不重复抽样的抽样误差的计算。不重复抽样情况下的成数抽样误差的计算，可按下列公式进行

式中N——全及总体单位数。

当全及总体单位数N很大时，（N-1）接近于N，当用N替代（N-1）时，上式又可化简为

在以上两个计算公式中，总体成数P是不知道的，P（1-P）也就无法求出。此时，可用样本的成数p和样本的方差p（1-p）来代替；也可用过去类似的检验成数和成数方差来代替。成数方差的最大值为

p（1-p）=0.5×（1-0.5）=0.5×0.5=0.25

这意味着总体内部两种情况各占50%时，成数方差为最大值0.25。当成数或成数方差不知道时，可取方差的最大值0.25，以此来代替成数方差P（1-P）。

从1000件产品中，随机抽取100件进行质检时，检验结果中发现废品10件，则废品率为

式中n₁——样本中的废品数；

n——抽样数目。

则废品率的抽样误差为

计算结果表明，成数的抽样误差为3%。

当按不重复抽样方法计算抽样误差时，计算过程如下

从上面的计算结果可以看出：采用不重复抽样公式计算出的成数抽样误差，比采用重复抽样误差公式计算出的成数抽样误差略小。

实际进行抽样检测时，一般采用不重复抽样方法进行抽样检测，但在计算成数抽样误差时多采用重复抽样的成数抽样误差公式，以简化计算过程。由于接近于1，所以这样计算对成数抽样误差的准确性影响不大。