重塑J积分的形变功率定义

用回路积分所定义的J积分的物理含义不是很明确，在计算和测定方面比较困难。J积分的另一定义方法是用形变功率定义，即

式中：B为试样厚度；U为试样的应变能；C为试样的边界围线；FT i、ui分别为试样边界上的面积力和位移；ds为试样边界上的微弧元。

可以证明，J积分的形变功率定义与回路积分定义是完全一致的。

在式（4-78）中，第二项是沿着试样边界进行的积分，计算起来比较方便，也便于试验标定。

例4-9　在断裂韧度的测试中，常用的加载方式如图4-26所示。带切口试样的厚度为B，上端边界固定，下端载荷为P。求该条件下J积分的表达式。

图4-26　单边裂纹拉伸试样

解　在自由边界上，FT i=0；在固定边界上，=0。因此在式（4-78）右端第二项围线积分中，只需考虑活动边界（加载面）的贡献。在活动边界C1上，FT i=，其中W是试样宽度。令加载点的位移u=Δ，则积分项的贡献为。代入J积分表达式有

系统势能Ep与应变能U和外力功We之间的关系为(www.xing528.com)

代入式（4-79），经整理得到

在线弹性条件下，Ep=U-W e=-U。因此对于载荷恒定的情形，有

当位移恒定时，由式（4-79）得到

对于弹塑性体，J积分的物理意义是：两个具有相同外形，且裂纹尺寸相近（仅相差Δa）的试样，在单调加载到相同的位移（见图4-27（a）），或具有相同的载荷（见图4-27（b））时所接受的形变功的差别。所以在非弹性体条件下，J积分的物理意义也是十分明确的。

图4-27　非弹性体载荷-位移关系及形变功