非线性函数的级数展开分析法

非线性器件的伏安特性可以用下面的非线性函数来表示。

式中，an(n＝0,1,2,…)为各次方项的系数，由下式确定

式中，u为加在非线性器件上的电压。一般情况下，其中，UQ为静态工作点，u1和u2为两个输入电压。用泰勒级数将式（5-1-1）在UQ处展开，可得

先来分析一种最简单的情况，令u2＝0，即只有一个输入信号，且令u1＝U1cos ω1t，代入式（5-1-2），有

式中，an(n＝0,1,2,…)为各次方项的系数，由下式确定

进一步利用三角公式，将式（5-1-4）最终写成

先来分析一种最简单的情况，令u2＝0，即只有一个输入信号，且令u1＝U1cos ω1t，代入式（5-1-2），有

式中，bn为an和cosn(ω1t)的分解系数的乘积。由式（5-1-5）可以看出，当单一频率信号作用于非线性器件时，在输出电流中不仅包含了输入信号的频率分量ω1，而且还包含了该频率分量的各次谐波分量nω1(n＝2,3,…)，这些谱分量就是非线性器件产生的新的频率分量。在放大器中，由于工作点选择不当，工作到了非线性区，或输入信号的幅度超过了放大器的动态范围，就会产生这种非线性失真。当然，这种电路可以用作倍频电路，在输出端增加一窄带滤波器，就可根据需要获得输入信号频率的倍频信号。

若作用在非线性器件上的两个电压均为余弦信号，即u1＝U1cos ω1t，u2＝U2cos ω2t，利用三角函数公式可得

进一步利用三角公式，将式（5-1-4）最终写成(www.xing528.com)

由上式不难看出，i中包含由下列通式表示的无限多个频率组合分量

式中，bn为an和cosn(ω1t)的分解系数的乘积。由式（5-1-5）可以看出，当单一频率信号作用于非线性器件时，在输出电流中不仅包含了输入信号的频率分量ω1，而且还包含了该频率分量的各次谐波分量nω1(n＝2,3,…)，这些谱分量就是非线性器件产生的新的频率分量。在放大器中，由于工作点选择不当，工作到了非线性区，或输入信号的幅度超过了放大器的动态范围，就会产生这种非线性失真。当然，这种电路可以用作倍频电路，在输出端增加一窄带滤波器，就可根据需要获得输入信号频率的倍频信号。

若作用在非线性器件上的两个电压均为余弦信号，即u1＝U1cos ω1t，u2＝U2cos ω2t，利用三角函数公式可得

式中，p和q是包含零在内的整数，即p、q＝0,1,2…，把p+q称为组合分量的阶数。其中，p＝1，q＝1的频率分量是由二次项产生的。在大多数情况下，其他分量是不需要的。这些频率分量产生的规律是：凡是p+q为偶数的组合分量，均由幂级数中n为偶数且大于等于p+q的各次方项产生的；凡是p+q为奇数的组合分量均由幂级数中n为奇数且大于等于p+q的各次方项产生的。当U1和U2幅度较小时，它们的强度都将随着p+q的增大而减小。

大多数频谱搬移电路必须具有选频功能，以滤除不必要的频率分量，减少输出信号的失真。大多数频谱搬移电路所需的是非线性函数展开式中的平方项，或者说，是两个输入信号的乘积项。因此，在实际中如何实现接近理想的乘法运算，减少无用的组合频率分量的数目和强度，就成为人们追求的目标。一般可以从以下三方面考虑。

（1）从非线性器件的特性考虑。例如，选用具有平方率特性的场效应管作为非线性器件；选择合适的静态工作点电压UQ，使非线性器件工作在特性接近平方律的区域。

（2）从电路结构考虑。例如，采用由多个非线性器件组成的平衡电路，抵消一部分无用组合频率分量。

（3）从输入信号的大小考虑。例如，减小u1和u2的振幅，以便有效地减小高阶相乘项及其产生的组合频率分量的强度。