提高2PSK数字解调系统的抗噪声性能分析方法

1.设信息代码为1011010，载波频率为信息速率的两倍。

（1）画出2PSK、2DPSK信号的波形。

（2）画出2PSK普通接收机原理框图及各点波形。

（3）画出2PSK最佳接收机原理框图及各点波形。

（4）已知2PSK普通接收机误码率公式为，①请说明此公式中的S与N的含义。②给出2PSK最佳接收机的误码率公式，并说明其中各符号的含义。

解：（1）2PSK、2DPSK波形图如图6-57所示，两种调制均采用“1”变、“0”不变规则。

图6-57 2PSK及2DPSK波形

（2）2PSK普通接收机原理框图如图6-58所示。解调器各点波形如图6-59所示，低通滤波器滤除高频成分，使输出波形更为平滑，其带宽等于数字基带信号的带宽。

图6-58 2PSK普通相干解调器框图

图6-59 2PSK普通相干解调器各点波形

（3）2PSK最佳接收机原理框图及各点波形分别如图6-60和图6-61所示。

图6-60 2PSK最佳解调器框图

图6-61 2PSK最佳解调器各点波形

（4）①S表示接收信号的功率，即，式中，a是接收2PSK信号的幅度；N是带通滤波器输出端的噪声功率，即N=n₀B，其中B为带通滤波器的带宽，通常与接收2PSK信号的带宽相等。

②2PSK最佳解调器的误码率公式为，式中，E_b等于接收信号的比特能量，即，n0为加性高斯白噪声的单边功率谱密度。可以导出。

评注：在讨论数字解调器时，涉及普通接收机和最佳接收机两种结构。本教材采用最佳接收机结构。通过本例，读者能更好地理解两种接收机结构的异同点。

2.2PSK数字调制信号在传输过程中受到加性高斯白噪声的干扰，接收端2PSK信号的解调器框图如图6-62所示。设白噪声的双边功率谱密度P_n（f）=n₀/2，接收机带通滤波器的带宽为B=2/T_b，T_b为二进制码元宽度。若二进制码元出现“1”码的概率为1/3，出现“0”码的概率为2/3。

（1）求解调器最佳判决门限V_T（写出推导过程）。

（2）在近似认为取样点无码间干扰的条件下，请推导出系统平均误码率计算公式（写出详细推导步骤）。

图6-62 2PSK解调器框图

解：本题是有关2PSK数字解调系统抗噪声性能分析方法的问题。无论是数字基带系统还是数字调制系统，抗噪声性能（误码率）的分析方法和步骤都相同：第一步，求发“1”和发“0”时取样值的表达式。第二步，取样值是信号和噪声值的混合，求出其概率密度函数。第三步，设置门限，写出系统平均误码率表达式P_e。第四步，令，求出最佳判决门限V_T。第五步，将V_T代入误码率表达式P_e，求积分得解调系统平均误码率P_e公式，并将参数化成接收信号比特能量E_b与噪声功率谱密度n₀之比。

第一步，求发“1”和发“0”时取样值的表达式

设调制时采用的规则是“1”变、“0”不变规则，且载波为cos2πf_ct。则发“1”时，接收2PSK信号为s_2PSK（t）=-acos2πf_ct，式中，a是接收信号的幅度。故解调器输入端2PSK信号和噪声的混合信号为

r（t）=s_2PSK（t）+n（t）=-acos2πf_ct+n（t）

通过带通滤波器后的输出为

y_a（t）=s_2PSK（t）+n_i（t）=-acos2πf_ct+n_c（t）cos2πf_ct-n_s（t）sin2πf_ct

由于带通滤波器的带宽等于2PSK信号的带宽，故2PSK能完全通过带通滤波器（近似认为），而白噪声n（t）通过带通滤波器后成为窄带高斯噪声n_i（t）=n_c（t）cos2πf_ct-n_s（t）sin2πf_ct，其均值和方差分别为

E[n_i（t）]=0，D[n_i（t）]=n₀B

式中，B=2f_b是带通滤波器的带宽。

y_a（t）与本地载波ϕ（t）=2cos2πf_ct相乘输出

式中，[-a+n_c（t）]cos4πf_ct和n_s（t）sin4πf_ct的功率谱均位于高频2f_c处，因而，这两项被后面的低通滤波器滤掉，只有低频部分[-a+n_c（t）]能够通过低通滤波器。所以低通滤波器的输出为

y_c（t）=-a+n_c（t）

假设在t₁时刻取样，则取样值为

y=-a+n_c（t₁）

当发送“0”时，接收2PSK信号为s_2PSK（t）=acos2πf_ct，因此，解调器的输入为

r（t）=s_2PSK（t）+n（t）=acos2πf_ct+n（t）

同理，可得到低通滤波器的输出为

y_c（t）=a+n_c（t）

t₁时刻的取样值为

y=a+n_c（t₁）

第二步，求发“1”和发“0”时取样值的概率密度函数

由第2章结论可知，窄带高斯噪声n_i（t）的同相分量n_c（t）也是高斯随机过程，其瞬时值服从高斯分布，且有

E[n_c（t）]=E[n_i（t）]=0，D[n_c（t）]=D[n_i（t）]=n₀B

可见，发“1”时，取样值y=-a+n_c（t₁）是高斯随机变量，其均值和方差分别为

其概率密度函数为

同理，发送“0”时，低通滤波器输出端的取样值y=a+n_c（t₁）是个均值为a、方差为σ²_n=n₀B的高斯随机变量，其概率密度函数为

第三步，写出平均误码率表达式

发“1”和发“0”时取样值的概率密度函数曲线如图6-63所示。

图6-63 概率密度曲线

设判决门限为V_T，根据“1”变“0”不变的调制规则，对应的判决规则应为

则发“0”码错判成“1”码的概率P（1/0）以及发“1”码错判成“0”码的概率P（0/1）分别为

由平均误码率公式P_e=P（0）P（1/0）+P（1）P（0/1）得到

第四步，令，有

解得最佳判决门限电平为

第五步，平均误码率为

将代入误码率公式，并令，得平均误码率为

讨论：当P（0）=P（1）=1/2时，，平均误码率公式变成

又因为

因此，2PSK采用低通滤波器解调时，平均误码率为

与采用相关器的最佳解调器相比，要达到同样误码率，E_b/n₀要提高一倍。

3.在图6-64所示的QPSK系统中，发送端输入的是独立等概二进制序列，相位选择器输出的QPSK信号表达式为，载波频率远大于基带二进制信号的带宽，即，T_s是符号间隔，θ取值于{ϕ_i=（1-2i）π/4，i=1，2，3，4}，高斯白噪声n（t）的双边功率谱密度为。

图6-64 QPSK系统

（1）写出无噪声时r₁、r₂与发送相位θ的关系，给出根据r₁、r₂的极性识别θ的规则。

（2）设计一种调制规则（双比特信息b₁b₂与θ之间的关系），并给出与此调制规则相对应的判决规则，给出简化的解调器框图。

（3）设上、下支路的误比特率均为P_b，求此QPSK系统的误码率。

解：（1）首先求出r₁、r₂与发送相位θ的关系。

已知发送信号为

根据系统框图，r₁的表达式为

利用三角公式2cosAcosB=cos（A-B）+cos（A+B）得

式中，当时，有

同理，r₂的表达式为

利用三角公式2sinAcosB=sin（A-B）+sin（A+B）得

根据上述表达式，列出发送不同θ时r₁、r₂的极性，如表6-4所示。

表6-4 r₁、r₂的极性

可见，接收端根据（r₁，r₂）的极性即可判决出所发送的θ。如（r₁，r₂）为（+，+）时，判发送θ=-π/4。

（2）根据表6-4，可采用如图6-65所示的调制规则，即当发送信息b₁b₂=11、01、00和10时，QPSK信号的相位分别为θ=-π/4、-3π/4、-5π/4和-7π/4。可见，相邻相位所对应的双比特信息中只有一位不同，符合格雷码的编码规则。当相邻相位发生错判时，如-3π/4错判成-5π/4时，输出信息由01错成00，只错1位。

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图6-65 4PSK的一种调制规则

与此调制规则相对应的判决规则为

如接收QPSK信号的相位θ=-π/4时，上支路r₁＞0，判“1”，下支路r₂＞0，判“1”，解调器输出双比特信息11，与发送信息一致。可以验证，发送端发送任一双比特信息，按上述判决规则判决出来的信息都是正确的。由此也可得，解调器中的相位识别和译码可以简化为上、下支路两个独立的判决器。简化的解调器框图如图6-66所示。

（3）QPSK解调器输出的一个码元由上、下支路各1比特组成，只有当上、下支路的比特都正确时，解调器才能输出正确码元，故码元正确率为

P_c=P_c1·P_c2=（1-P_b）（1-P_b）=（1-P_b）²

式中，P_c1和P_c2分别代表上、下支路的比特正确率。因此，误码率为

P_e=1-P_c=1-（1-P_b）²=2P_b-P²_b

4.设计一个8PSK信号产生器框图，对应的8PSK信号星座图如图6-67所示。

图6-66 简化的解调器框图

图6-67 信号星座图

解：根据图6-29所示的MPSK调制器一般框图，得到8PSK调制器结构框图如图6-68所示。

图6-68 MPSK正交调制器框图

由此调制器产生的8PSK信号表达式为

s（t）=cosφ_i·Acos2πf_ct-sinφ_i·Asin2πf_ct=Acos（2πf_ct+φ_i）

其中φ_i的取值有8种。根据8PSK星座图，可列出3bit信息abc与8个发送相位φ_i以及cosφ_i、sinφ_i之间的关系，如表6-5所示。

表6-5 cosφ_i、sinφ_i之间的关系

（续）

由此可见，当二进制信息送到8PSK调制器时，首先分组，每3比特为一组，然后根据调制规则所对应的关系获得相位值φ_i，进而得到cosφ_i和sinφ_i，最后将cosφ_i、sinφ_i分别与余弦载波和正弦载波相乘、相减，即可得到8PSK信号。

5.设某带通信道的带宽为4kHz，当分别采用2PSK、4PSK、8PSK、16QAM数字调制进行无码间干扰传输时，可达到的最高比特率分别为多少？假设发送端成型滤波器采用滚降系数为α=1升余弦特性。

解：在介绍调制技术原理时，为讨论问题方便，数字基带信号的码元波形都采用矩形波，因此数字基带信号的功率谱和已调信号的功率谱都是无限扩展的，如图6-69所示。

但实际应用中，信道的带宽都是有限的，为了将已调信号的频谱限制在一定的带宽之内，同时又要保证数字传输系统在取样判决点上无码间干扰，就需要对数字基带信号进行成型滤波后，再进行调制。故带有成型滤波的数字调制系统模型如图6-70所示。

图6-69 数字基带信号及2PSK信号功率谱

图6-70 带有成型滤波的数字调制系统模型

图中参数：R_b是输入信号的信息速率；R_s为M进制码元速率；B_b是成型滤波器的带宽；B是已调信号的带宽。

根据第1章、第5章及本章知识，有如下关系：

●。

●，即最大无码间干扰速率等于等效理想低通带宽W的2倍，且滚降系统有。

●B=2B_b，即调制后信号的带宽是基带信号带宽的2倍，传输信道的带宽至少等于已调信号的带宽。

由上述关系式，即可求得

（1）对于2PSK调制，M=2，已知B=4kHz、α=1时，有，，Rb=R_slog₂M=2kbit/s

故2PSK调制时，系统能达到的最大无码间干扰传输信息速率为2kbit/s。

（2）对于4PSK，M=4，已知B=4kHz、α=1时，有，，R_b=R_slog₂M=4kbit/s

故4PSK调制时，系统能达到的最大无码间干扰传输信息速率为4kbit/s。

（3）对于8PSK，M=8，已知B=4kHz、α=1时，有，，Rb=R_slog₂M=6kbit/s故8PSK调制时，系统能达到的最大无码间干扰传输信息速率为6kbit/s。

（4）对于16QAM，M=16，已知B=4kHz、α=1时，有，，R_b=R_slog₂M=8kbit/s

故16QAM调制时，系统能达到的最大无码间干扰传输信息速率为8kbit/s。

6.电话信道的通带范围为600～3000Hz，在此信道传输数字信息。

（1）若采用α=0.2的升余弦滚降基带信号QPSK调制，则最大传输信息速率为多少？

（2）若采用α=0.5的升余弦滚降基带信号16QAM调制，则最大传输信息速率为多少？

解：为便于参考，本题使用与上题相同的符号。

（1）电话信道的带宽为

B=（3000-600）Hz=2400Hz

则调制前成形基带信号的最大带宽为

当α=0.2时，最大无码间干扰速率为

对于QPSK，M=4，最大传输信息速率为

R_b=R_slog₂M=（2000×2）bit/s=4000bit/s

（2）对α=0.5的升余弦滚降特性，最大无码间干扰速率为

对16QAM，M=16，最大传输信息速率为

R_b=R_slog₂M=（1600×4）bit/s=6400bit/s

7.若电话信道的频带宽度限定为600～3000Hz，信号在传输过程中受到双边功率谱密度为的加性高斯白噪声的干扰。若要利用此电话信道传输2400bit/s的二进制数据序列，需要接入调制解调器（MODEM）进行无码间干扰的频带传输。请设计并画出最佳发送及接收系统的原理图。

解：本题综合应用无码间干扰数字基带系统的频带利用率、滚降特性的等效低通带宽、多进制数字调制系统的带宽等知识。

（1）载波频率设计

本题带通信道的通带范围为600～3000Hz，其带宽为2400Hz，中点频率为1800Hz，故调制时的载波频率为f_c=1800Hz。

（2）综合考虑有效性和可靠性，调制方式可选用MPSK或MQAM

（3）进制的选择

为保证正常通信，调制后信号的带宽最大不能超过信道的带宽，设已调信号带宽为B=2400Hz，则调制前基带信号的带宽最大为

设成型滤波器的滚降系数为α，则基带信号的码元速率最大为

系统能够传输的最大信息速率为

讨论：①当α=0、M=2时，R_b=2400bit/s，符合速率要求，但此时成型滤波器为理想低通特性，物理不可实现。

②当α=1、M=4时，R_b=2400bit/s，符合速率要求，此时成型滤波器可采用升余弦滤波器，调制技术可选用4PSK。

③当α=0.5、M=4时，R_b=3600bit/s，也满足传输速率的要求。因此，也可采用滚降系数为0.5的升余弦滤波器做为成形滤波器，调制技术选用4PSK，此时传输频带还有不少余量。

可见，满足传输要求的系统可以有许多种。综合考虑，本设计选用滚降系数α=1的升余弦成型滤波，再进行4PSK调制的方案。最佳发送和接收系统的原理图如图6-71所示。

图6-71 最佳发送和接收系统的原理图

说明：①收、发端各用平方根升余弦滤波器，这样整个系统传输特性是升余弦特性，确保无码间干扰，且收发匹配（能最大限度地降低噪声的影响），故为最佳系统。

②发送端载波的幅度为A，接收端的载波是载波恢复电路提取的，为与发送端区别，画图时接收端载波的幅度为1。另外还需强调，发送端载波幅度的大小会影响接收信号的强度，但接收端的载波幅度对信号的解调不产生影响（接收到的有用信号和噪声均与之相乘），即解调器的误码率与其无关，故解调时根据方便可任意设定其幅度。

8.设有一采用滚降基带成型的MPSK通信系统，若采用4PSK调制，并要求达到4800bit/s的信息速率，试计算

（1）求最小理论带宽。

（2）若取滚降系数为0.5，求所需的传输带宽。

（3）若保持传输带宽不变，而数据速率加倍，则调制方式应如何变？

（4）若保持调制方式不变，而数据速率加倍，则为保持相同的误码率，发送信号的功率如何变？

（5）若给定传输带宽为2.4kHz，并改用8PSK调制，仍要求满足4800bit/s的信息速率，求滚降系数α。

解：本题仍然是具有基带成型的数字调制系统。故首先推导出具有滚降滤波器的MQAM、MPSK数字调制系统的带宽和频带利用率。

由于滚降滤波器的带宽为B_b=（1+α）W，最大无码间干扰速率为R_s=2W。

经MQAM或MPSK调制后，已调信号的带宽是数字基带信号带宽的2倍，故已调信号的带宽为

B=2B_b=2（1+α）W

滚降调制系统的频带利用率为

（1）当α=0时，频带利用率最高，此时给定信息速率下所需的信道带宽最小。将R_b=4800bit/s、M=4代入频带利用率公式得所需的最小理论带宽为

（2）当α=0.5时，代入频带利用率公式得所需信道带宽为

（3）由频带利用率公式可见，当B不变而提高信息传输速率时，必然要提高频带利用率，而提高频带利用率的有效途径是提高进制数M。根据题意，数据速率加倍，则进制数由原来的4提高到16，即可采用16PSK。由于16PSK的可靠性比16QAM差，故可采用16QAM调制。

（4）根据误码率公式，E_b/n₀保持不变，则误码率不变。由于平均比特能量等于平均功率乘以比特间隔，即E_b=P_avT_b，当信息速率加倍时，比特间隔T_b减半，因此，功率加倍才能保持比特能量不变。

（5）由频带利用率公式得到

将带宽B=2400Hz、进制数M=8及信息速率R_b=4800bit/s代入得到滚降系数为α=0.5。