2ASK包络解调器波形分析及误码率计算

1.已知某2ASK系统，码元速率1000Baud，载波信号为cos2πf_ct，设数字基带信息为10110。

（1）画出2ASK调制器框图及其输出的2ASK信号波形（设T_b=5T_c）。

（2）画出2ASK信号的功率谱示意图。

（3）求2ASK信号的带宽。

（4）画出2ASK相干解调器框图及各点波形示意图。

（5）画出2ASK包络解调器框图及各点波形示意图。

解：（1）2ASK调制器框图及2ASK波形如图6-38a和图6-38b所示。

图6-38 2ASK调制器框图及波形

（2）功率谱示意图如图6-39所示。

图6-39 2ASK信号功率谱

其中，载波频率f_c=5000Hz，码元速率为1000Baud，因此f_b=1000Hz。

（3）2ASK信号的带宽为

B=2f_b=2×1000Hz=2000Hz

（4）2ASK相干解调器如图6-40所示。

各点波形如图6-41所示。

图6-40 2ASK相干解调器框图

图6-41 2ASK相干解调器各点波形示意图

（5）2ASK包络解调器框图如图6-42所示。

图6-42 2ASK包络解调器框图

各点波形如图6-43所示。

图6-43 2ASK包络解调器各点波形示意图

2.用2ASK传送二进制数字信息，已知传码率为2×10⁶Baud，发“1”时接收端输入信号的振幅a=16μV，输入高斯型白噪声的单边功率谱密度为n₀=4×10^-18W/Hz，试求相干解调和非相干解调时系统的误码率。

解：（1）相干解调时

代入相干解调误码率公式得

（2）非相干解调（包络解调）时将代入包络解调误码率公式得

3.对2ASK信号进行相干解调，若“1”码概率大于1/2，试问最佳判决电平是大于还是小于？请说明理由。（其中E_b是发“1”码时接收信号的码元能量）。

解：2ASK相干解调时取样值的概率密度曲线如图6-44所示。

误码率为P_e=P（1）P（0/1）+P（0）P（1/0），当“1”、“0”等概时，判决门限取使误码率达到最小。但当P（1）>P（0）时，由误码率公式可见，减小P（0/1）才能使误码率最小，所以判决门限应向左移动，即小于。

4.某2FSK调制系统，码元速率为1000Baud，载波频率分别为2000Hz及4000Hz。

图6-44 取样值的概率密度函数

（1）当二进制数字信息为1100101时，画出其对应的2FSK信号波形。

（2）画出2FSK信号的功率谱密度函数示意图。

（3）求传输此2FSK信号所需的最小信道带宽。

（4）画出此2FSK信号相干解调框图及当输入波形为（1）时解调器各点的波形示意图。

解：（1）设“1”码和“0”码分别对应载波频率4000Hz和2000Hz。根据载波频率与码元速率之间的关系，“1”码期间画4个周期的载波，“0”码期间画两个周期的载波，2FSK波形如图6-45所示。

图6-45 2FSK波形图

（2）2FSK的功率谱是两个载波频率分别为4000Hz和2000Hz的2ASK功率谱之和，如图6-46所示。

图6-46 2FSK信号功率谱

图中，f₁=4000Hz，f₂=2000Hz，f_b=1000Hz。

（3）此2FSK的带宽为

B=|f₂-f₁|+2f_b=（2000+2000）Hz=4000Hz

（4）2FSK相干解调（最佳）框图如图6-47所示。

图6-47 2FSK相干解调器框图

各点波形如图6-48所示。

图6-48 2FSK相干解调器各点波形

5.有一2FSK系统，传码率为4×10⁶Baud，已知f₁=8MHz，f₂=16MHz。接收端输入信号的振幅a=20μV，输入高斯型白噪声的单边功率谱密度n₀=4×10^-18W/Hz，试求：

（1）2FSK信号的带宽。

（2）系统相干解调和非相干解调时的误码率。

解：（1）B=f₂-f₁+2f_b=（8+2×4）MHz=16MHz

（2）相干解调时

代入2FSK相干解调误码率公式得误码率为

代入2FSK包络解调器误码率公式得误码率为

可见，相同E_b/n₀下，2FSK相干解调在误码性能上优于非相干解调。

6.已知数字信息{a_n}=1011010，分别以下列两种情况画出2PSK、2DPSK信号的波形。

（1）码元速率为1200Baud，载波频率为1200Hz。

（2）码元速率为1200Baud，载波频率为2400Hz。

解：（1）码元速率为1200Baud、载波频率为1200Hz时，一个码元内画一个周期的载波，如图6-49所示。

图6-49 2PSK及2DPSK波形

（2）码元速率为1200Baud、载波频率为2400Hz时，一个码元期间画两个周期的载波，如图6-50所示。

注意，画2PSK和2DPSK波形时，一定要画参考信号。2PSK需画出整个码元序列期间的载波作为参考信号；而2DPSK只需画出起始码元内的载波即可。且一定要标出调制规则。如“1”变、“0”不变。因为参考信号和调制规则不同，所画出的2PSK和2DPSK波形也会不同。

7.已知数字信息为{a_n}=1100101，码元速率为1200Baud，载波频率为2400Hz。

（1）画出相对码{b_n}的波形（采用单极性全占空矩形脉冲）。

图6-50 2PSK及2DPSK波形(www.xing528.com)

（2）画出相对码{b_n}的2PSK波形。

（3）求此2DPSK信号的带宽。

解：（1）、（2）根据码元速率与载波频率的关系可知，一个码元间隔内画两个周期的载波。设相对码的起始码元为“0”，则相对码及相对码的2PSK波形如图6-51所示。注意，相对码的2PSK波形对于原信息（绝对码）而言即为2DPSK波形。

（3）2DPSK信号的带宽等于码元速率的两倍，即

B=2f_b=2×1200Hz=2400Hz

8.假设在某2DPSK系统中，载波频率为2400Hz，码元速率为2400Baud。已知信息序列为{a_n}=1010011。

（1）试画出2DPSK波形。

（2）若采用差分相干解调法（相位比较法）接收该信号时，试画出解调系统框图及各点波形。

图6-51 2DPSK波形

解：（1）由于码元速率等于载波频率，即码元间隔T_b等于载波周期T_c，故一个码元内画一个周期的载波信号。信息序列为{a_n}=1010011时的2DPSK波形如图6-52所示，图中2DPSK信号采用的调制规则是“1”变“0”不变。

（2）2DPSK差分相干解调器框图及各点波形如图6-53a、图6-53b所示。

注意：为能正解调出发送信息，根据2DPSK“1”变“0”不变的调制规则，解调器中的判决规则应为：取样值大于0，判为“0”码；取样值小于0，判为“1”码。

图6-52 2DPSK波形

图6-53 2DPSK差分相干解调器框图及各点波形

a）2DPSK差分相干解调器框图 b）各点波形

9.在二进制相移键控系统中，已知二进制码元速率为2.5×10⁶Baud，信道中加性高斯白噪声的功率谱密度n₀/2=2.5×10^-16W/Hz。接收端正弦波的幅度a=0.1mV，求：

（1）如果接收信号是2PSK信号，则解调器的误码率为多少？

（2）如果接收信号是2DPSK信号，则极性比较法解调器的误码率为多少？

（3）如果接收信号为2DPSK信号，采用相位比较法解调，则误码率又为多少？

解：各种解调器的误码率公式均与E_b/n₀有关，故首先根据已知条件计算出E_b/n₀的值，在计算过程中注意各参数的单位：电压单位用V、码元间隔单位用s、频率单位用Hz、功率谱密度单位用W/Hz，码元速率单位用Baud，信息速率单位用bit。

比特能量为

已知n₀/2=2.5×10^-16，得n₀=5×10^-16W/Hz，所以

（1）代入2PSK相干解调误码率公式，得2PSK的误码率为

（2）代入2DPSK极性比较法解调误码率公式，得2DPSK的误码率为

其误码率是2PSK解调误码率的两倍。

（3）代入2DPSK相位比较法解调误码率公式，得2DPSK的误码率为

从上述3个误码率结果可见，二进制相位调制技术中，2PSK抗噪声性能最好，其次是2DPSK相干解调，最差的是2DPSK非相干解调。

10.已知二进制码元传输速率为10³Baud，接收机输入噪声的双边功率谱密度n₀/2=10^-10W/Hz，要求误码率P_e=5×10^-5。试分别计算出相干2ASK、非相干2FSK、差分相干2DPSK以及2PSK系统所要求的输入信号的比特能量E_b。

解：（1）相干2ASK时

根据给定的误码率P_e=5×10^-5及2ASK的误码率公式有

查教材附录中给出的互补误差函数表得

进一步解得2ASK相干解调时输入信号的比特能量为

E_b=7.5625×4n₀=7.5625×4×2×10^-10J=6.05×10^-9J

（2）非相干2FSK时

计算方法和过程与2ASK时相同。根据给定误码率及FSK非相干解调误码率公式有

故得2FSK非相干解调时输入信号的比特能量为

E_b=9.21×2n₀=9.21×2×2×10^-10J≈3.68×10^-9J

（3）差分相干2DPSK时

根据给定误码率及2DPSK差分相干解调时的误码率公式得

进而得到2DPSK差分相干解调时所需的接收信号比特能量为

E_b=9.21×n₀=9.21×2×10^-10J≈1.842×10^-9J

（4）2PSK相干解调时

将已知的误码率代入2PSK相干解调误码率公式，得到

所以，2PSK系统所要求的输入信号的比特能量为

E_b=7.5625×n₀=7.5625×2×10^-10J≈1.5×10^-9J

从以上各种系统所需的输入信号比特能量可见，当达到相同误码率时，2PSK系统所需的比特能量最小，因此，2PSK系统的抗噪声性能最好。

11.设发送数字信息序列为01001011，试画出π/2体系时的4PSK及4DPSK信号的波形。（双比特信息与相位或相位差之间的对应关系可自行设定，一个码元内画两个载波周期。）（提示：π/2体系中，4PSK的4个相位分别是0、π/2、π、3π/2，4DPSK的4个相位差分别为0、π/2、π、3π/2。）

解：设定调制规则如图6-54所示。

由于在4PSK中，参考信号是未调载波，而在4DPSK中，参考信号是前一码元内的已调波相位。所以，画4PSK波形和4DPSK波形时，也一定要画出相应的参考信号。

根据图6-54所设置的规则及参考信号画出4PSK和4DPSK调制波形如图6-55所示。

图6-54 相位差与双比特信息间的关系

图6-55 4PSK与4DPSK调制波形

评注：有时画2PSK或4PSK时没有画参考载波，如果能保证每个码元内参考载波的初相均为0，这样画出的2PSK或4PSK波形也是正确的，否则画出的波形是错误的。要保证每个码元内参考载波的初相为0，其条件是第一个码元内的参考载波初相为0且一个码元内的载波周期数必须是正整数，本题画的参考载波就满足此条件。

12.某QAM调制器的框图如图6-56所示。求图中A、B、C、D、E、F、G、H各点的码元速率、信息速率、信号带宽、信号进制、频带利用率及各参数的单位，并将结果填入下表中。

图 6-56

解：图6-56中各点的有关参数如表6-3所示。

表6-3 各点参数

说明：1）A点信号经串/并转换分成两路，故B、C处的信息速率是A点处信息速率的一半，即B、C点的信息速率为，且分成两路后的信号仍是二进制的，故B、C点信号的码元速率在数值上等于其信息速率，即600Baud。

2）D、E点信号是B、C点信号变换为八进制后的信号，信息速率保持不变，即仍为600bit/s，但码元速率变为。

3）当数字基带信号的波形采用全占空矩形脉冲时，数字基带信号的带宽等于其码元速率，故B、C点信号的带宽为600Hz，D、E点信号带宽为200Hz。

4）F、G点信号为已调信号，其功率谱是D、E点信号功率谱的线性搬移，故其带宽是D、E点信号带宽的2倍，但信息速率及码元速率仍与D、E点信号相同，故进制也与D、E点信号的进制相同。

5）H点信号是F、G点信号之和，故H点带宽等于F或G点信号的带宽，信息速率等于上、下支路信息速率之和，为1200bit/s。但H点信号的码元种类却有64种（上支路8种×下支路8种），故是六十四进制的，因此码元速率为。

6）当采用全占空矩形脉冲时，数字基带信号的频带利用率η=log₂Mbit/（s·Hz），数字调制信号（频谱线性搬移，如相位调制、振幅调制、QAM调制）的频带利用率。