拓展题解析：提高信道带宽可换取对信噪比要求的降低

1.有扰连续信道的信道容量为10⁴bit/s，信道带宽为3kHz。如果将信道带宽提高到10kHz，在保持信道容量不变的情况下，信号噪声功率比可降到多少？

解：若C=10⁴bit/s且B=3kHz=3000Hz，则所需的信噪比为

若保持C=10⁴bit/s，将信道带宽提高到B=10kHz=10000Hz，则所需的信噪比为

可见，在保持信道容量不变时，提高信道带宽可换取对信噪比要求的降低。这种信噪比和带宽的互换在通信工程中有很大的用处。例如，在宇宙飞船与地面的通信中，飞船上的发射机功率不可能很大，因此可用增大带宽的方法来换取对信噪比要求的降低。相反，如果信道频带比较紧张，如有线载波电话信道，这时主要考虑频带利用率，可提高信号功率来提高信噪比，从而降低对信道带宽的要求。

2.设数字信号每比特信号能量为E_b，信道噪声的双边功率谱密度为n₀/2。试证明：信道无差错传输的最小E_b/n₀为-1.6dB。

证明：信号功率为S=E_bR_b，噪声功率为N=n₀B，令C=R_b，得到

对上式做适当变换得，当时，得的最小值为

用分贝来表示，得

3.信号s₁（t）=2cos8πt+2cos16πt和信号s₂（t）=2cos30πt+2cos35πt分别通过图3-11所示的恒参信道。

（1）指出它们存在何种失真？

（2）写出输出表达式。

图3-11 某信道幅频特性和群时延特性

解：（1）信号s₁（t）含有两个频率成分，频率分别为4Hz和8Hz。由图3-11所示的幅频特性可知，这两个频率成分通过时，均受到信道的衰减，且衰减幅度相同，均为0.8，故s₁（t）通过此信道时不会引起幅频失真。由信道的群时延特性可见，4Hz频率成分通过时受到的时间时延为0.02s，而8Hz频率成分通过时则会受到0.03s的时间时延，可见有群时延失真，即有相频失真。同理，s₂（t）的两个频率成分分别是15Hz和17.5Hz，通过图3-11所示的信道时，受到的幅度衰减分别为0.4和0.2，受到的时间时延均为0.03s，故s₂（t）通过此信道时存在幅频失真，但不会引起群时延（相频）失真。

（2）综合上述分析，s₁（t）=2cos8πt+2cos16πt通过信道后的输出表达式为

s_1o（t）=2×0.8cos8π（t-0.02）+2×0.8cos16π（t-0.03）(www.xing528.com)

s₂（t）=2cos30πt+2cos35πt通过信道后的输出表达式为

s_2o（t）=2×0.4cos30π（t-0.03）+2×0.2cos35π（t-0.03）

4.有多径传播信道模型如图3-12所示，设t₀和τ_d均为常数。求

（1）当输入信号为s（t）时的输出信号r（t）。

（2）对该信道的传输特性加以讨论。

（3）信号通过此信道有失真吗？

图3-12 三径传播信道模型

解：（1）根据信道模型直接写出输出信号表达式

r（t）=ks（t-t₀）+ks（t-t₀-τ_d）+ks（t-t₀-2τ_d）

（2）方法一：直接写出冲激响应，再求傅里叶变换得信道传输特性。

方法二：对输出信号表达式两边求傅里叶变换，再根据系统传输特性的定义求得。

讨论：

1）其幅频特性|H（ω）|=k|1+2cosωτ_d|，其相频特性ϕ（ω）=ω（t₀+τ_d），群时延特性为τ（ω）=t₀+τ_d。

2）幅频特性不是一条水平线，故有幅频失真。相频特性是ω的线性函数，群时延特性是一水平线，此信道无相频失真。

（3）单频信号通过此信道无失真，非单频信号通过有失真，因为此信道有幅频失真。