一、填空题
1.10-3Sa(10-3πf);1000Hz;1000Hz。2.。3.A2τ2Sa2(πfτ);A2τ。4.aX+aY;σ2X+σ2Y。5.0;PX(f)H(f)2。6.高斯(正态);;2×10-12δ(τ)。7.时间。8.;0.5。9.Ks*(t0-t);;KRs(t-t0);。
二、选择题
1.C;2.C;3.C;4.A;5.A;6.D;7.B;8.C;9.A;10.A。
三、简答题
1.矩形脉冲信号的频谱表达式为X(f)=AτSa(πfτ),第一个零点位置f=1/τ。升余弦脉冲的频谱表达式为,第一个零点位置为2/τ。可见,用第一个零点来定义带宽时,矩形脉冲信号的带宽为1/τ,而升余弦脉冲的带宽为2/τ,故在传输过程中升余弦脉冲会占用更宽的信道。
2.加性白高斯噪声的英文缩写为AWGN(Additive White Gaussian Noise)。“加性”表示噪声是以相加的形式叠加在信号上;“白”的含义是噪声的功率谱密度在很大范围内为常数;“高斯”的含义是噪声的瞬时值服从高斯分布。
3.(1)若随机过程的任意n维概率密度函数与时间起点无关,则称它为狭义平稳随机过程。
(2)若随机过程的均值和方差为常数,自相关函数只与时间间隔τ有关,即E[X(t)]=a,D[X(t)]=σ2,E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ),则称它为广义平稳随机过程。狭义平稳一定是广义平稳的,反之不一定成立。
4.(1)平稳随机过程自相关函数的定义为R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]。
(2)从自相关函数可得到随机过程的多个数字特征:①R(0)是随机过程的平均功率。②R(±∞)是随机过程的直流功率,直流功率的平方根为均值。③R(0)-R(±∞)是随机过程的交流功率,即随机过程的方差。
四、综合题
1.(1)能量信号的能量谱与其自相关函数是一对傅里叶变换。因此,可首先求得x(t)的能量谱G(f)=X(f)2=A2τ02Sa2(πfτ0),由常用函数傅里叶变换表可查得其傅里叶反变换为三角脉冲,做简单对比得矩形信号的自相关函数为
如图2-32所示。
(2)R(τ-τ0)的图形是R(τ)向右移τ0,如图2-33所示。
图 2-32
图 2-33
(3)R(0)=A2τ0,其值等于能量信号的总能量。(www.xing528.com)
其中。
可见,X(t)的均值为零(常数),自相关函数与t无关,只与时间间隔τ有关,故为平稳随机过程。
3.(1)根据自相关函数的定义,得
(2)对RY(τ)求傅里叶反变换得Y(t)的功率谱密度为
4.(1)白噪声通过理想低通滤波器后,输出噪声的功率谱为
则其自相关函数为 RY(τ)=F-1[PY(f)]=n0BSa(2πBτ)
(2)输出噪声上相隔τ=1/B的两个随机变量的协方差为(输出噪声均值为0)
C(τ=1/B)=R(τ=1/B)=n0BSa(2πB/B)=0
τ=1/B是自相关函数RY(τ)的第二个零点。可见,Y(t)和Y(t+τ)是不相关的。由于输入噪声是高斯的,因此输出也是高斯的,故Y(t)和Y(t+τ)也是独立的,它们的联合概率密度函数为
其中,,代入上式得
(3)由于cos2πf0t和sin2πf0t都是确定值,因此Z(t)=Y(t)cos2πf0t-Y(t+τ)sin2πf0t是两个高斯随机变量Y(t)和Y(t+τ)的线性组合,故也是高斯随机变量,其均值和方差分别为
由此可得其一维概率密度函数为
(4)当τ=2/B和τ=1/(2B)时,上述(2)、(3)两项结果仍然成立。因为C(τ=2/B)=R(τ=2/B)=0和C(τ=1/(2B))=R(τ=1/(2B))=0,即相隔τ=2/B和τ=1/(2B)的两个随机变量仍然都是独立的。事实上,τ=1/(2B)和τ=2/B分别是自相关函数的第一个、第四个零点。
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