随机过程及其相关函数

1.随机过程的概念

（1）定义：随机过程是包含有随机变量的时间函数。如X（t）=2cos（2πt+Y）是一个随机过程，其中Y是离散随机变量，设它取值为0和π/2的概率相同，即P（Y=0）=0.5，P（Y=π/2）=0.5。

（2）对随机过程的理解

随机过程的概念较为抽象，可以从如下两个方面来理解：

1）当随机变量取某个值时，随机过程就成为一个时间的确定函数，这个时间的确定函数称为随机过程的一个样本函数或一个实现。如上例中，当Y=0时，X₁（t）=X（t）|_Y=0=2cos（2πt）即为随机过程X（t）=2cos（2πt+Y）的一个样本函数，它出现的可能性取决于Y=0的概率。显然，此随机过程还有一个样本函数X₂（t）=X（t）|_Y=π/2=2cos（2πt+π/2）=-2sin（2πt）。如果随机过程中的随机变量可能的取值有无穷多个（如连续随机变量），则随机过程就有无穷多个样本函数，这些样本函数能完整地描述随机过程，故随机过程又可定义为样本函数的全体。

2）随机过程任一时刻的取值是随机变量。上例中，t₁时刻的取值为X（t₁）=2cos（2πt₁+Y），由于Y是随机变量，而X（t₁）是Y的函数，故X（t₁）是随机变量，它各以0.5的概率取值2cos（2πt₁）或-2sin（2πt₁）。因此，随机过程也可定义为依赖于时间参数的随机变量的全体。

2.随机过程的统计特性

（1）一维概率密度函数

随机过程任一时刻t₁的取值是随机变量，此随机变量的概率密度函数称为随机过程的一维概率密度函数，记做f₁（x；t），它描述了随机过程某个时刻的统计特性。

（2）二维概率密度函数

在任意两个时刻t₁、t₂对随机过程取值得到两个随机变量X（t₁）和X（t₂），这两个随机变量的联合概率密度函数称为随机过程的二维概率密度函数，常记做f₂（x₁，x₂；t₁，t₂），它描述了随机过程两个不同时刻取值间的联系。

（3）n维概率密度函数

在任意t₁、t₂、…、t_n时刻对随机过程取值得到n个随机变量X（t₁）、X（t₂）、…、X（t_n），这n个随机变量的联合概率密度函数称为随机过程的n维概率密度函数，记做f_n（x₁，x₂，…，x_n；t₁，t₂，…t_n），它描述了随机过程n个时刻取值之间的联系。

可见，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但复杂程度随之增大。实际应用中主要使用一维统计特性，二维统计特性偶尔涉及。(www.xing528.com)

3.随机过程的数字特征

随机过程数字特征的定义基于随机过程任一时刻的取值是随机变量。与随机变量一样，随机过程的数学特征主要有数学期望、方差、自相关函数和协方差函数。

（1）数学期望（均值）

含义：表示随机过程任意t时刻的取值所对应的随机变量的均值。由于不同时刻对应不同的随机变量，不同随机变量的均值可能不同，因此随机过程的均值通常是时间的函数。

（2）方差

D[X（t）]=E{[X（t）-a（t）]²}=E[X²（t）]-a²（t）=σ²（t） （2-36）含义：表示随机过程任意t时刻的取值所对应的随机变量的方差。由于不同时刻对应不同的随机变量，不同随机变量的方差可能不同，因此随机过程的方差通常是时间的函数。

（3）自相关函数和（自）协方差函数

随机过程的数学期望和方差描述了随机过程在某个时刻的数字特征。为刻画随机过程在任意两个不同时刻所对应的随机变量之间的关联程度，要用自相关函数和协方差函数来表示。

自相关函数

含义：表示t₁、t₂时刻所对应的随机变量X（t₁）、X（t₂）之间的相关矩。设t₂＞t₁，令t₂=t₁+τ，τ是两随机变量之间的时间间隔，则自相关函数定义成R_X（t₁，t₁+τ）=E[X（t₁）X（t₁+τ）]。还可用t代替t₁，得到更常用的表示形式R_X（t，t+τ）=E[X（t）X（t+τ）]。可见，随机过程的自相关函数通常与时间起点t₁（或t）及时间间隔τ有关。

协方差函数

含义：表示t₁、t₂时刻所对应的随机变量X（t₁）、X（t₂）之间的协方差。注意，当a（t₁）a（t₂）=0时，C_X（t₁，t₂）=R_X（t₁，t₂）。