能量信号与功率信号的帕塞瓦尔定理与信号带宽

1.能量信号与功率信号的定义

设x（t）为一电压信号，则它在1Ω电阻上消耗的总能量和平均功率分别为

和

若E＜∞（为一有限值）、P=0，则称x（t）为能量信号。一般来说持续时间有限的信号为能量信号，例如，单个矩形脉冲。

若P＜∞（为一有限值）、E→∞，则称x（t）为功率信号。一般来说持续时间无限的信号为功率信号。但也有例外，如e^-|t|、，虽然持续时间无限，但它们的能量有限，因而是能量信号。但周期信号一定是功率信号。

2.能量信号和功率信号的帕塞瓦尔定理

（1）能量信号的帕塞瓦尔定理

应用：求一个信号的能量可用时间波形来求，也可用其频谱来求。

能量谱密度定义为G（f）=|X（f）|²，它反映了信号能量随频率的分布情况。对能量谱求积分等于总能量。

它反映了信号功率随频率的分布情况。对功率谱求积分等于总功率。

需要注意的是：(www.xing528.com)

1）功率谱、能量谱与信号并非一一对应。例如，两个不同的信号可能具有相同的能量谱或功率谱。

2）由于G（f）、P（f）分布在-∞＜f＜∞，故称为双边谱。但对于实信号来说，G（f）和P（f）均为偶函数，因此可只画出正频率部分，幅度变为原来的两倍（相当于负频率部分叠加到了正频率上），则相应地称为单边谱。

3.信号带宽

信号的带宽是由信号的功率谱或能量谱在频域的分布规律决定的。通常将信号能量或功率集中的频率区间的宽度称为带宽。带宽的定义主要有以下几种：

1）百分比带宽：以集中一定百分比能量或功率的区间宽度来定义带宽。

2）3dB带宽：指信号的能量谱或功率谱下降到峰值的一半时所对应的频率值（正频率轴上）。

3）等效矩形带宽：当矩形的面积等于功率谱或能量谱曲线下的面积时（矩形高度等于谱密度峰值）正频率轴方向上矩形的宽度。

4）第一个零点带宽：对于有主瓣的能量谱或功率谱，用它们第一个零点的位置定义带宽，则称为第一个零点带宽。如宽度为τ的矩形脉冲和升余弦脉冲信号，能量谱的第一个零点分别为1/τ和2/τ。可见，相同脉冲宽度下，升余弦信号的带宽是矩形信号带宽的2倍，所以在信道上传输时，升余弦信号会占据更多的信道带宽。在后面的学习中，如果没有特别指明，出现的带宽均指第一个零点带宽。

需要注意的是：信号带宽是人为定义的，即使是同一信号，不同定义下的带宽也会有所不同。