塑料熔体在管隙中的流动分析

压力作用下聚合物熔体在管道内的流动，称压力流动或泊肃叶流动（Poiscuille Flow）。施加在流体上的外压力产生了速度场。体系的边界是刚性和静止不动的。

注射模具的型腔通道形状和尺寸变化繁多，但流通截面归纳起来，基本上是圆管形和狭缝形两种。在热流道和喷嘴的通道流动分析中还有圆锥管道和环隙管道两种。

由于聚合物熔体的黏度很高，且服从非牛顿的幂律定律，故在通常情况下为稳态层流。在压力流动分析时，假定聚合物熔体是不可压缩的，在流道壁面上的流动速度为零，且流体的黏度不随时间变化。实际上，聚合物熔体在压力下的流动是非等温的，但在大多数情况下按等温和不可压缩的压力流动处理，其计算结果所引起的误差很小，因此在注射工程上是可行的。

1.圆管中压力流动

圆管形状简单，最为常见。在圆管中高聚物的压力流动是一维的剪切流动。

图3-7 单元液柱的力平衡

（1）圆管中的牛顿流体 如图3-7所示单元液柱，为了维持流体在圆管中的稳态流动，沿管长必须有一定的压力差。在无限长的圆管中取半径为r、长度为L、两端压力差为Δp的流体单元。

在其受推力πr²·Δp下流动时，又受到黏性阻力，该阻力为剪切应力τ与液柱表面2πrL之积，力平衡式如下：

πr²Δp=2πrLτ因此有沿半径方向的剪切应力分布式：

在管中心r=0处，τ=0。在管壁r=R上，得到剪切应力最大值：

由牛顿黏性定律，在圆管中的牛顿流体的剪切速率为

式中 v——线速度，它是半径r的函数。

管中心的流速最大，随r的增大，v减小。在管中心r=0处，。在管壁r=R上，有最大剪切速率：

假设在管壁R上没有滑动，用v=0代入式（3-11），对积分，得管中速度的分布如下：

此式说明，牛顿流体在等截面圆管中的流动速度分布为抛物线，如图3-8所示。

图3-8 牛顿流体在圆管中的速度和剪切应力

将式（3-12）对r作整个截面S积分，可得体积流率Q为

这就是哈根-泊肃叶（Hagen-Poiseuille）方程，比较式（3-11b）和式（3-13），可得管壁上剪切速率，也是表观剪切速率：

（2）圆管中的非牛顿流体的速度方程 由于绝大多数聚合物熔体都是非牛顿流体，它们在圆形通道中的流动显然不能用前述的牛顿流体流动方程来描述。考虑到非牛顿流体的特性，需引入流动指数n，用图3-7所示的圆管通道的力平衡流动模型推导。

1）圆管道的力平衡流动模型推导。见图3-7，将式（3-10）r和式（3-4）τ=K·γⁿ代入，可得

经移项后，有

将此式积分，代入边界条件后可得非牛顿流体的速度方程：

2）圆管中的非牛顿流体的体积流率方程。对式（3-15）的速度v_z方程做整个圆管截面积积分，管内体积流率为

整理后可得圆管通道内流体流动的压力降，即

由式（3-9），将流体稠度K置换成表观稠度K′，有压力降

对于牛顿流体n=1，K=μ，式（3-16）可演变成牛顿流体的流率方程，即

又可将式（3-15）演变成牛顿流体的速度方程，即

3）流道直径计算式推导。式（3-16）圆管中的流量

式中 Δp——对于半径为R长为L的圆管的压力降；

K——塑料熔体在某温度和一定剪切速率下的稠度；

n——流动指数，也称非牛顿流动指数。稠度和黏度的单位相同，常用Pa·s，为运算方便，有时也用N·s/cm²。其中，管壁的剪切速率为

将此式代入上式，整理得

将直径d=2R代入，有

由非牛顿流体在圆管道中的流量q_i=Q，可得浇注系统的各分流道及喷嘴直径的流变学计算式：

式中，可换算成按剪切速率确定喷嘴内流道直径d_i（cm）的计算式：

式中 q_i——塑料熔体的流经流道的体积流量（cm³/s）；

n——塑料熔体的流动指数，参见表3-1或表3-2；

——塑料熔体流经分流道的合理剪切速率（1/s），常以5×10²s^-1左右代入。

4）圆管中的非牛顿流体的速度分布 将式（3-17）除以πR²，便得到圆管内非牛顿流体的平均速度，即

将r=0代入到速度分布方程式（3-15），可获知管中央的最大流速

将速度方程式（3-15）除以平均速度的式（3-22），可得到无量纲速度曲线方程

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可绘制非牛顿流体的流速分布为柱塞流动，如图3-9所示。由式（3-24）可知，牛顿流体在n=1时速度分布曲线为抛物线。假塑性的非牛顿流体在n<1时，速度分布曲线较抛物线平坦。n值越小，管中心部分的速度分布越平缓，曲线形状类似于柱塞。

1）柱塞流动中混合作用不良。聚合物熔体在柱塞流动中受到剪切作用较小，均化作用差，对于多组分物料的加工尤为不利。

图3-9 非牛顿流体在圆管内柱塞流动的速度分布

2）最大剪切应力和最大剪切速率在管壁上。

3）流体在管中的平均流速及其体积流率均随管径和压力增大而增加，随流体黏度和管长的增加而减少。

4）曾假定在管壁的流速为零，但实际上熔体在管壁上有滑移现象。熔体在较长的圆管内流动过程中还伴随有高聚物相对分子质量效应。相对分子质量较低的级分在流动中逐渐趋于管壁附近，使这一区域流体黏度降低，流速有所增加。由于这两个原因，熔体的流动速率实际上比计算值大。如果熔体在狭小流道中流动，在管壁上产生冷却固化的皮层，使有效管径变小，则在高压下产生喷泉流动。

2.圆锥管道中的压力流动

圆锥形通道如图3-10所示。设其大小端半径分别为R₁和R₂，锥角为2θ，全长为L，取其任意位置上的半径为r，离大端距离为l，有如下几何关系：

图3-10 圆锥形通道

由圆柱管道中流体的压力降计算式（3-17a），将Δp视作dp，列出dr对应长度dl上压降的微分方程，再对r积分后整理得圆锥形通道压力降，即

若以ctgθ=L/（R₁-R₂）代入式（3-25a），则得另一形式压力降计算式：

若以表观稠度K′置换式（3-25a）和式（3-25b）中的流体稠度K，可得高聚物熔体在圆锥形通道中流动的又一组压降计算式，即

3.圆环隙中的轴向压力流动

圆环隙中的轴向压力流动如图3-11所示，R_o为环隙外半径，R_i为内半径。针阀式喷嘴的管道半径R_o和阀针半径R_i设计计算，应按照稳定层流的圆环隙轴向压力流动分析的精确解计算。

令A=R_i/R_o，且ρ=r/R_o。设熔体在半径λR_o的圆周上，流速v_rz为最大。此处的剪切应力τ_rz=0。

图3-11 圆环隙中的轴向压力流动

（1）速度分布

1）在里区流动。流体在A≤ρ≤λ区域的速度分布计算式为

2）在外区流动。流体在λ≤ρ≤1区域的速度分布计算式为

（2）体积流率 当v_z1=v_z2时，由式（3-27a）和式（3-27b）可得λ的解。在n=1时，K=μ的牛顿流体有位置的解，即

1）圆环隙中的轴向压力流动时牛顿流体的体积流率计算式为

2）圆环隙中的轴向压力流动时非牛顿流体的体积流率计算式为

图3-12 函数F（n，A）与n和A关系

式中 q——圆环隙流道输出体积流率（mm³/s或cm³/s）；

R_o——圆环隙流道孔的半径（mm或cm）；

R_i——圆环隙流道轴芯的半径（mm或cm）；

A——环隙的轴孔半径比，A=R_i/R_o；

L——圆环隙流道孔的长度（mm或cm）；

K——塑料熔体的稠度，（MPa·s）；

Δp——塑料熔体在圆环隙流道的压力损失，（MPa）；

n——塑料熔体的流动指数；

F（n，A）——仅与n和A有关的流率函数（见图3-12）。

与式（3-30）相对应，可以得到环隙通道的压力损失计算式，即

4.狭缝通道中压力流动

在聚合物流变学的流动分析方程中，狭缝通道是矩形通道的特例。如图3-13所示，截面宽度W与厚度h之比W/h<12或6时应考虑做矩形通道处理。狭缝通道忽略了两侧面方向上的黏性阻力，假定熔体在无限宽的两平板之间做压力流动。注射模的制品壳板，其成型板厚的间隙h相对于板面宽度W要小得多，是典型的狭缝通道。注射模具的矩形分流道及侧浇口等属矩形通道，但矩形通道的流动方程很复杂，倘若用狭缝通道计算式，会有一定的误差，且W/h越接近1，误差越大。

图3-13 等截面狭缝通道W/h>（10～20）

两平行板间非牛顿流体的压力流体的速度分布计算式为

如图3-13所示，熔体经此通道不计入两侧壁对流量的影响。将式（3-32）积分便可得到聚合物熔体在等截面狭缝通道中的体积流量，即

非牛顿流体在狭矩形通道中流动的剪切速率和剪切应力计算式为

对流程长L的压力损失计算式为

在n=1时，牛顿流体在狭矩形通道中流动的流量和压降计算式为

此时流体稠度K等于牛顿黏度_μ。牛顿流体在狭缝通道流动的剪切速率和剪切应力计算式为

对于厚度h方向有线性变化的窄楔形流道、宽度W方向有线性变化的宽楔形流道或两个方向均有线性变化的鱼尾形流道，它们各自的流量和压降计算式可参见有关专业著作，本文不再赘述。