空间平面法向量与岩体结构面的关系探析

选取3个共面但不共线的3个点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），P3（x3，y3，z3），则其向量为：

由P1、P2、P3构成的结构面数学表达如式（4-1）：

其中A，B，C是结构面的法向量，定义如下：

A=y1（z2-z3）+y2（z3-z1）+y3（z1-z2）

B=z1（x2-x3）+z2（x3-y1）+z3（x1-y2）

C=x1（y2-y3）+x2（y3-y1）+x3（y1-y2）

则结构面的数学关系及产状计算原理如图4-2所示，倾角α、倾向β的计算如式（4-2）和式（4-3）所示：

当A＞0，B＞0，C＞0和A＜0，B＜0，C＜0时，β=β0；(www.xing528.com)

当A＞0，B＞0，C＜0；A＞0，B＜0，C＞0；A＜0，B＜0，C＞0；A＜0，B＞0，C＜0时，β=β0+π；

当A＞0，B＜0，C＜0和A＜0，B＞0，C＞0时，β=β0+2π。

图4-2　结构面倾角、倾向的数学关系

理论上，如果获取该结构面上不在同一条直线上的3个点的坐标，就能够得到此结构面的法向量，进而计算该结构面的产状等信息。该思路适用于结构面平直起伏不大的情况下，如图4-3所示。此类方法容易受到结构面表面粗糙起伏的影响，误差相对较大。因此，在选点时应尽量选择迹线出露较为明显的代表性点。计算出平面以后还需检查平面与出露迹线的吻合情况（董秀军，2007）。

此外，对于大多数的地表出露结构面，可利用三维点云数据中结构面出露面区域内的多个点或所有点采用拟合算法来生成一个平面，在结构面表面粗糙、稍有起伏的情况下，也可用此思路得到整体平均的结构面，如图4-4所示。此类方法适用于规模较大同时产状有一定变化的结构面。它克服了传统罗盘测量的误差大、有一定局限性的缺点，能够在宏观上得出整体平均的结构面产状，代表性更强（董秀军，2007）。

图4-3　三点法拟合结构面（张文，2011）

图4-4　多点法拟合结构面（张文，2011）