一般位置直线与一般位置平面相交

1.一般位置直线与一般位置平面相交

例7　求直线EF与平面△ABC的交点K，并判别可见性，如图6.18所示。

图6.18　例7

图6.19　辅助平面法

解：

分析：当直线和平面都处于一般位置时，只能应用作辅助平面的方法来求交点。其原理如图6.19所示。首先包含直线EF作一辅助平面P，则P面与△ABC必有一交线MN，它是两个平面的共有线，因此EF与MN的交点就是EF与△ABC的共有点，即EF与△ABC的交点K。

作图步骤如下（见图6.20）：

①包含直线EF作铅垂面P作为辅助平面：因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以p与ef重合。

②求P面与△ABC的交线。

交线MN的水平投影应与p重合，其上两点m、n是p与ac、ab的交点，由m、n可求出交线的正面投影m′n′。

③求交线MN与直线EF的交点。

根据m′n′与e′f′的交点k′，在ef上求出k，则K（k，k′）即为所求直线EF与△ABC的交点。

④判别直线EF的可见性。

只能用重影点来判别，正面投影的可见性可利用交叉直线EF与BC在V面上的重影点Ⅰ、Ⅱ判别，水平投影的可见性可利用交叉直线EF与AB在H面上的重影点Ⅲ、Ⅳ判别。

图6.20　线面求交及可见性判别

由此可知，求直线与平面交点的一般步骤如下：

（1）包含已知直线作一辅助平面，为作图方便，一般选择投影面的垂直面为辅助平面。

（2）求出辅助平面与已知平面的交线，即求特殊位置平面与一般位置平面的交线。

（3）求出此交线与已知直线的交点，即为所求直线与平面的交点。

求出交点后，再利用交叉直线的重影点判别可见性。

2.两一般位置平面相交

因为两平面的交线是它们的共有线，可由两个共有点确定，所以可按下述步骤求作两个一般位置平面的交线：

（1）按求作直线与一般位置平面的交点的三个步骤，作出一个平面上任一直线与另一平面的交点。

（2）用上述方法再作出一个交点。

（3）将这两个交点连成所求的交线。(www.xing528.com)

求出交线后，再利用交叉直线的重影点判别可见性。

例8　求△ABC和平面四边形DEFG的交线，并判别可见性，如图6.21所示。

图6.21　例8

作图步骤如下（见图6.22、6.23）：

①求△ABC的AB边与四边形DEFG的交点M。

包含△ABC的AB边作正垂面为辅助平面，求出辅助平面与四边形DEFG的交线KL，KL与AB的交点M即为△ABC和四边形DEFG的一个共有点。

②求△ABC的BC边与四边形DEFG的交点N。

包含△ABC的BC边作铅垂面为辅助平面，求出辅助平面与四边形DEFG的交线SR，SR与BC的交点N即为△ABC和四边形DEFG的另一个共有点。

图6.22　交线的作图过程

③分别连接MN的同面投影，MN（mn，m′n′）即为△ABC与四边形DEFG的交线。

④判别两平面的可见性：利用交叉直线的重影点来判别（请同学们自行判别）。

图6.23　可见性判别

注意：在按上述步骤作一个平面上的直线与另一个平面的交点时，有时交点可能在该直线的延长线上，也可能在另一平面的扩展面上，这样的交点仍可用来连成交线，但所连出的交线的投影，只有分别位于两个平面的同面投影重合处的一段，才是两平面的实际的交线的投影，其余部分是实际的交线的延长线的投影。

当两平面都是一般位置平面且面内不相交时，它们的共有点不能用上述方法求出，则可以利用作三面共点法来得到。

利用三面共点法求两平面交线的基本原理如图6.24所示。为了求出两个基本点（以确定一般位置平面P和Q的交线），我们可以用一个辅助平面R同时与它们相交，交线分别为AK和BK。AK与BK的交点K即为P、Q两平面的共有点。

用同样的方法，再以平面S作辅助面，可以求出第二个共有点L。直线KL即为P、Q两平面的交线。

例9　求作平面P（AB×BC）与平面R（DE//FG）的交线，如图6.24所示。

图6.24　例9

解：

求出两平面的一个共有点：可先用水平面R作为辅助面，求出R′与已知直线的正面投影的交点1′、2′和3′、4′；再求出这些点对应的水平投影1、2、3、4。它们的连线12和34就是平面R与两已知平面的交线的水平投影。这两条直线的交点k就是所求的一个共有点的水平投影，它的正面投影k′应该积聚在R′上。

用同样的方法，借助水平面S求出第二个共有点L（l，l′）。连接点K和L的同面投影kl、k′l′，即为所求P、Q两平面的交线的投影。解题过程如图6.25所示。

图6.25　解题过程