马尔可夫随机场：基本概念介绍

假设随机场X={X1,X2,…,Xn}是定义在二维位置集S={1,2,…,n}上的一族随机变量，其相空间为L={1,2,…,k}，通常称之为图像标记，n为图像中像素的个数。假设在位置集合S上定义邻域系统，即：

N={Ni|i∈S}

(2.1-1)

其中Ni为位置i的邻域，邻域具有以下属性：

(1)i∉Ni；

(2)i∈Nj⇔j∈Ni。

对于规则的空间位置集合S，i的邻域可定义为与i的距离小于半径r的集合：

Ni={i′∈S|[dist(i′,i)]2≤r2,i′≠i}

(2.1-2)

其中dist(A,B)为欧氏距离，r取整数。在二维格网位置集合中，最为典型的邻域系统为二阶邻域系统，即每一个位置的邻域是其周围的8个位置。若一个位置的集合c中的每一位置两两相邻，则称c是一个基团。定义在格网位置集合S上的马尔可夫随机场的联合分布满足以下条件：

(1)P(x)=P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)>0；

(2)P(xi|xS\{i})=P(xi|Ni)。

其中的xS\{i}表示在位置集合S\{i}={j∈S,j≠i}上随机场的一个现实。第一个条件为非负性，第二个条件为马尔可夫性。马尔可夫场的联合概率是需要计算的一个量，若从马尔可夫场局部概率求导出联合概率十分困难。Hammersley and Clifford定理表明,马尔可夫场联合概率服从Gibbs分布，即:(www.xing528.com)

P(x)=Z-1exp{-U(x)}

(2.1-3)

其中U为能量函数，

(2.1-4)

此处能量函数为一系列定义在势团c上势函数Vc(x)的总和。若势函数Vc(x)独立于其势团c，则称Gibbs随机场是齐次的；若Vc(x)与其势团c所包含的像素的相对位置无关，则称Gibbs随机场是各向同性的。Z为归一化常数，又被称为拆分函数，

(2.1-5)

拆分函数的计算非常复杂，因此它的计算涉及到随机场的所有现实。可采用伪似然乘积的形式对式(2.1-3)进行近似计算，

(2.1-6)

式中，每项可表示为：

(2.1-7)

式中，Ni为点i的邻域。只有当随机场中每一变量之间相互独立时，公式(2.1-6)才是真实的概率分布，因此这是一个伪似然分布。