瞬时空腔效应的探讨

弹丸在液体中运动时，由于惯性作用，从弹丸四周流过的液体无法及时回流到弹丸后方，造成弹丸后方形成一液体空腔，该现象称为空腔效应。

弹丸在液体黏性阻力作用下损失的动能将转化为液体的动能和势能，液体运动和空腔扩张都会相应地加大对容器结构的破坏作用。空腔效应一般包括空腔形成和坍塌两个阶段。空腔形成后，随着空腔扩张，空腔壁面速度逐渐减小，当空腔壁速度为零时，空腔将达到其最大直径，且此时液体的总能量全部转化为势能。随后空腔将发生坍塌，其势能又再次转化为动能。忽略该过程中热效应所引起的内能变化，可建立如图4.2所示的空腔生长模型。

图4.2　液体中空腔生长模型

假设弹丸击穿容器前壁面后，沿＋x方向继续在液体中直线运动，则弹丸速度的衰减可通过牛顿第二定律表述为

式中，mp为弹丸质量；t为时间；vp为弹丸在液体中的运动速度；ρl为液体密度；S为弹丸截面积；Cx为阻力系数。

弹丸动能随运动距离的变化关系，即dEp/dxp为

基于点源分布理论，假设沿弹丸运动轨迹分布着无数点，则弹丸与液体空腔运动状态均可通过这些点描述。基于能量守恒定律，在任一点处，弹丸动能损失等于该点对应液体所获得的总能量（动能与势能之和）。对于弹丸运动轨迹上的点，通过流体势能方程的线性化处理可得到各点轴向和径向速度分量。在弹丸侵彻所形成的空腔壁面上，壁面径向速度vr与该点处强度ζ成正比

式中，r为径向距离；ζ为点强度；ξ为弹丸侵彻轨迹上的任意一点。

在有限半径R内，液体动能El为

联立式（4.14）及式（4.15）可得

式中，N=ln（Ω/a），a为ξ处空腔半径，Ω/a取值通常在15～30范围。

基于能量守恒方程，弹丸在x=ξ处的动能损失等于dx间隔内液体的动能与势能之和。液体在dx间隔内的势能dEx可用空腔壁面在dx距离内扩展所增加的体积进行描述，表述为

式中，p0（x）为x处的大气压力；pc（x）为x处的空腔压力。假设空腔压力在x方向上保持不变，定义pg=p0（x）-pc（x），则能量守恒方程可表述为

定义变量A（x）和B（x）为

故点强度ζ可表达为

在空腔壁面上有r=a，故式（4.20）可进一步表述为

式中，a′（x）为a（x）的一阶导数，即x处的空腔壁面速度。

联立式（4.20）与式（4.21）可得

结合边界条件t=tp，a=Dp/2，上式积分可得

故空腔半径a（x）可表述为

式中，tp为弹丸到达xp位置所用时间。(www.xing528.com)

相应的空腔壁面扩展速度可由上式求导所得

空腔形成及不断扩大后，将最终发生坍塌。空腔坍塌是指在弹丸运动轨迹上，所形成的空腔发生连续闭合并最终完全消失的过程。

研究表明，空腔形成时间与其坍塌所需时间并不相等，坍塌时间要略长于形成时间。假设空腔在某一特定位置开始坍塌，此处空腔壁面速度为0，空腔在x处的初始坍塌时间Tc（x）可表述为

式中，tp（x）为弹丸运动到x处所用时间；A（x）/B（x）为空腔形成时间，即空腔半径从0开始扩展至其最大半径所用时间。

由于弹丸侵彻下的空腔坍塌过程十分复杂，一般假设空腔坍塌时间等于空腔形成时间，则位置x处空腔坍塌完成时间Tr可近似表述为

空腔坍塌过程中会产生复杂应力场，使容器内压力再次升高并出现振荡现象，因此空腔坍塌过程对容器结构的破坏作用同样不可忽略。

在侵彻效应与空腔效应联合作用下，弹丸在液体中所引起的液压冲量将持续上升，且容器后壁面受液体中冲击波作用将逐渐向外隆起变形，其受力状态如图4.3所示。为分析后壁面受压时壁面挠度及挠度变化速度随时间变化的规律，做如下假设：后壁面在变形过程中材料密度不变；后壁面相邻粒子间不因剪切运动产生相互作用力；忽略边缘效应。

图4.3　容器后壁面载荷分布

容器后壁面所受压力载荷可表述为

式中，m为油箱壁微元质量；a为油箱壁微元加速度。

取后壁面上一面积微元ΔS，式（4.28）可表述为

式中，ρ为后壁面材料密度；h为后壁面厚度；p（t）为壁面所受压力；u为壁面微元速度。

对式（4.30）积分，壁面微元速度可表述为

对速度积分，可得相应微元位移

理论分析表明，容器后壁面挠度及挠度变化速度均与壁面单位面积质量成反比，且当壁面材料密度一定时，挠度及挠度变化速度与壁面厚度成反比；容器后壁面挠度变化与作用于后壁面压力大小及作用时间相关。

若将容器后壁面变形过程视为水平冲击问题，引入动荷因数Kd

式中，δst为后壁静位移；v为液体作用于后壁面的速度；g为重力加速度。

则容器后壁面变形挠度δ可表述为

从上述分析可以看出，容器后壁面挠度与直接作用于容器后壁面的液体速度密切相关，也即取决于弹丸传递至液体的动能多少。