理想界面下的多尺度均匀算法

对于小尺度或者大尺度问题，需要引入一个均匀化方法来估计其有效弹性模量，并将其转化为割线模量。对于含有球形孔洞的小尺度问题，许多均匀化方法是相同的，均导出了Mori-Tanaka(MT)结果或者Hashin-Shtrikman(HS)上下界。对于含有随机取向且高度扁平夹杂(模仿石墨烯)的大尺度问题，需要更加小心的选择均匀化方法。一般意义上，对于三维随机取向椭球夹杂的复合材料，可以考虑以下三个常用的模型。这包括Mori－Tanaka(MT)方法[160]，Ponte Castaneda and Willis(PCW)方法[239]和Bruggeman有效介质法(EMA)[240]，所有这些方法均为近似方法并且有它固有的优缺点。MT方法和PCW 方法的优点是对于本章所考虑的大尺度和小尺度问题，夹杂均是直接嵌入在基质中并且所得到的有效模量是显式的。这为后面所采用的场波动方法带来方便。但对于石墨烯纳米复合材料，PCW 的有效性范围限制在c1＜α。其中，α是夹杂的长细比。例如，如果石墨烯填充物的长细比α为0.001，石墨烯含量必须满足c1＜0.001。否则，计算得到的有效模量会超出HS上界(参考Hu和Weng[241]中的图1)。由于实验中石墨烯含量一般为1%至2.5%，这是一个很严厉的限制。实际上，PCW 方法对于CNT纳米复合材料具有更严厉的限制。在这种情况下，CNT的体积分数需要满足c1＜1/α2。对于长细比为1000的CNT复合材料，它的应用范围是c1＜10－6，是一个非常小的区间。这使得可用的方法仅剩下MT方法或者有效介质法。这两种方法预测的结果都在HS边界上或边界内，它们从不违反边界。然而，有效介质法是隐式方法。由后续方程(6.21)和(6.22)可得：如果和或者κs和μs是关于κ0和，或者和的隐式函数，其偏导数很难求得，故而很难使用后续用到的场波动方法。此外，方程(6.21)和(6.22)中有效模量κs和μs是关于κ0，和α很复杂的函数。基于以上这些原因，后续将采用MT方法来研究本章中大尺度和小尺度问题。

对于小尺度或者大尺度问题，需要引入一个均匀化方法来估计其有效弹性模量，并将其转化为割线模量。对于含有球形孔洞的小尺度问题，许多均匀化方法是相同的，均导出了Mori-Tanaka(MT)结果或者Hashin-Shtrikman(HS)上下界。对于含有随机取向且高度扁平夹杂(模仿石墨烯)的大尺度问题，需要更加小心的选择均匀化方法。一般意义上，对于三维随机取向椭球夹杂的复合材料，可以考虑以下三个常用的模型。这包括Mori－Tanaka(MT)方法[160]，Ponte Castaneda and Willis(PCW)方法[239]和Bruggeman有效介质法(EMA)[240]，所有这些方法均为近似方法并且有它固有的优缺点。MT方法和PCW 方法的优点是对于本章所考虑的大尺度和小尺度问题，夹杂均是直接嵌入在基质中并且所得到的有效模量是显式的。这为后面所采用的场波动方法带来方便。但对于石墨烯纳米复合材料，PCW 的有效性范围限制在c1＜α。其中，α是夹杂的长细比。例如，如果石墨烯填充物的长细比α为0.001，石墨烯含量必须满足c1＜0.001。否则，计算得到的有效模量会超出HS上界(参考Hu和Weng[241]中的图1)。由于实验中石墨烯含量一般为1%至2.5%，这是一个很严厉的限制。实际上，PCW 方法对于CNT纳米复合材料具有更严厉的限制。在这种情况下，CNT的体积分数需要满足c1＜1/α2。对于长细比为1000的CNT复合材料，它的应用范围是c1＜10－6，是一个非常小的区间。这使得可用的方法仅剩下MT方法或者有效介质法。这两种方法预测的结果都在HS边界上或边界内，它们从不违反边界。然而，有效介质法是隐式方法。由后续方程(6.21)和(6.22)可得：如果和或者κs和μs是关于κ0和，或者和的隐式函数，其偏导数很难求得，故而很难使用后续用到的场波动方法。此外，方程(6.21)和(6.22)中有效模量κs和μs是关于κ0，和α很复杂的函数。基于以上这些原因，后续将采用MT方法来研究本章中大尺度和小尺度问题。(www.xing528.com)