广义界面位错方法优化

4.3.3.1　三个速度相关的实矩阵

基于广义Stroh方法[53]，方程(4.53)的通解可以写为

其中，Φ(i)为磁电弹双材料广义应力函数，f(i)(z(i))，p(i)，a(i)(v)和b(i)(v)分别是需要由边界条件确定的函数，复常数，复向量。平行于x2轴的广义力矢量为

其中，Φ(i)为磁电弹双材料广义应力函数，f(i)(z(i))，p(i)，a(i)(v)和b(i)(v)分别是需要由边界条件确定的函数，复常数，复向量。平行于x2轴的广义力矢量为

将方程(4.61)带入平衡方程(4.53)，我们得到

将方程(4.61)带入平衡方程(4.53)，我们得到

其中，矩阵Q(i)(v)，R(i)和T(i)分别定义为

其中，矩阵Q(i)(v)，R(i)和T(i)分别定义为

由于亚音速扩展的限制，方程(4.63)的所有6个解均为复数，并且可以分组为3个复共轭对。取，是对应的特征向量。由此定义两个复矩阵

由于亚音速扩展的限制，方程(4.63)的所有6个解均为复数，并且可以分组为3个复共轭对。取，是对应的特征向量。由此定义两个复矩阵

以及三个速度相关的Barnett-Lotte矩阵[208]

以及三个速度相关的Barnett-Lotte矩阵[208]

其中，，I是单位矩阵。

此外，可以定义一个无量纲参数来刻画扩展速度

其中，，I是单位矩阵。

此外，可以定义一个无量纲参数来刻画扩展速度

其中，是每个磁电弹组份材料的反平面剪切波速，。为了方便推导，裂纹扩展的马赫数Ma 可以定义为

其中，是每个磁电弹组份材料的反平面剪切波速，。为了方便推导，裂纹扩展的马赫数Ma 可以定义为

其中，c0是磁电弹双材料组份的最小剪切波速

其中，c0是磁电弹双材料组份的最小剪切波速

下面，类似于弹性场中的处理[209]，对方程(4.64)做一个旋转变换

下面，类似于弹性场中的处理[209]，对方程(4.64)做一个旋转变换

其中，φ是旋转变换的旋转角。对应的Barnett-Lothe矩阵可以在积分形式下获得[209]，并将运用到后面的计算中

其中，φ是旋转变换的旋转角。对应的Barnett-Lothe矩阵可以在积分形式下获得[209]，并将运用到后面的计算中

其中

其中

以及η(i)(ω)＝1－(1－β(i)2)sin2ω。

根据Ting给出的关系[208]

以及η(i)(ω)＝1－(1－β(i)2)sin2ω。

根据Ting给出的关系[208](www.xing528.com)

很容易从积分形式的中，直接获得磁电弹材料速度相关的Barnett-Lothe矩阵S(i)(v)，H(i)(v)，L(i)(v)

很容易从积分形式的中，直接获得磁电弹材料速度相关的Barnett-Lothe矩阵S(i)(v)，H(i)(v)，L(i)(v)

注意到，这三个速度相关的矩阵，S(i)(v)，H(i)(v)和L(i)(v)，将要被用来构建运动界面裂纹问题的解。当v＝0也就是β(i)＝1时，方程(4.76)～(4.78)可以退化为这三个矩阵的静态形式[210]。

4.3.3.2　广义界面位错分布方程

现在，我们通过广义连续位错方法[211]解释运动界面裂纹对磁电弹双材料的作用。首先，定义一个运动的连续界面位错向量

注意到，这三个速度相关的矩阵，S(i)(v)，H(i)(v)和L(i)(v)，将要被用来构建运动界面裂纹问题的解。当v＝0也就是β(i)＝1时，方程(4.76)～(4.78)可以退化为这三个矩阵的静态形式[210]。

4.3.3.2　广义界面位错分布方程

现在，我们通过广义连续位错方法[211]解释运动界面裂纹对磁电弹双材料的作用。首先，定义一个运动的连续界面位错向量

其中，(r，θ)是(x1，x2)的极坐标形式。广义位错密度可以定义为

其中，(r，θ)是(x1，x2)的极坐标形式。广义位错密度可以定义为

将各向异性弹性双材料界面位错的通解[212]推广到磁电弹双材料，可以得到

将各向异性弹性双材料界面位错的通解[212]推广到磁电弹双材料，可以得到

其中

其中

除去控制方程，接触面和裂纹面的边界条件也需要适当给出。我们考虑接触面的场变量是连续的

除去控制方程，接触面和裂纹面的边界条件也需要适当给出。我们考虑接触面的场变量是连续的

对于裂纹面和饱和区域，边界条件为

对于裂纹面和饱和区域，边界条件为

裂纹面和电磁饱和区的广义力矢量可以根据方程(4.81)和(4.84)给出(参考附录E)

裂纹面和电磁饱和区的广义力矢量可以根据方程(4.81)和(4.84)给出(参考附录E)

将方程(4.59)和(4.80)带入方程(4.85)中，给出了考虑电磁饱和区的界面位错分布方程

将方程(4.59)和(4.80)带入方程(4.85)中，给出了考虑电磁饱和区的界面位错分布方程

即

即

其中，运动的弹性，电场和磁场界面位错分别分布在平移坐标系－a＜x1＜a，－l＜x1＜l和－c＜x1＜c区域内。当把问题退化至均匀铁电材料，方程(4.86)～(4.89)与Chen等[87]的形式相同。很明显，裂纹内的电场和磁场是位置x1的函数。然而，Dc(x1)和Bc(x1)在裂纹面除了裂纹尖端区域外保持恒定[213，214]。因此，假设它们沿裂纹面在一阶近似下保持不变[213]

其中，运动的弹性，电场和磁场界面位错分别分布在平移坐标系－a＜x1＜a，－l＜x1＜l和－c＜x1＜c区域内。当把问题退化至均匀铁电材料，方程(4.86)～(4.89)与Chen等[87]的形式相同。很明显，裂纹内的电场和磁场是位置x1的函数。然而，Dc(x1)和Bc(x1)在裂纹面除了裂纹尖端区域外保持恒定[213，214]。因此，假设它们沿裂纹面在一阶近似下保持不变[213]

这一假设将在接下来通过数值计算证明。

这一假设将在接下来通过数值计算证明。