铁电复合材料：特性和应用

铁电材料非线性宏观力学行为与其在外载荷作用下微观电畴及内部结构的分布和运动密切相关。其微观结构的演化和电畴的反转导致材料的相变与产生内应力等一系列复杂的现象。在过去的二十年中，铁电单晶、多晶和薄膜的理论模型研究是一个研究热点。相关综述可以参考Kamlah[33]，Landis[34]，Potnis等[35]的工作。目前主要分为基于唯象理论和基于细观结构的模型。

基于唯象理论的模型来源于相变热力学。将铁电体的非线性本构考虑为一个类似塑性力学的过程，进行仿塑性力学推导，描述铁电材料的宏观特性。按照具有内变量的连续介质热力学方法，Bassiouny等[36]以及Cocks和Mc Meeking[37]以剩余应变和剩余极化矢量为内变量建立唯象铁电模型。他们详细研究了电硬化效应，并仿照塑性力学提出了电场的Drucker公设。以此为基础，Kamlah和Jiang[38]建立了多内变量的铁电模型，将剩余应变和剩余极化矢量看作为内变量的函数。Landis[39]将Cocks和Mc Meeking的结果推广至多轴加载情形，给出了多轴加载铁电本构方程。基于细观结构的模型在考虑铁电晶体内部细观结构的基础上，通过复杂的细观力学推导，给出畴变过程中细观结构的变化。初始的铁电细观本构模型假设铁电晶体只有一个与畴结构有关的变量，通过畴变准则来确定应力场和电场[40]。Chen等[41]通过细观力学方法，并以畴结构的体积分数为内变量，给出了铁电材料增量形式的力电学关系。Huber等[42]则将铁电畴变过程考虑为一个类似金属塑性滑移的过程，并给出了需要众多数量内变量的铁电本构方程。为克服这一困难，Li和Weng[43]基于细观力学方法，将铁电畴结构考虑成带状畴片结构。基于这一工作，Su和Weng[44]建立基于自洽法的多晶铁电细观力学模型，并给出了铁电多晶体的畴结构演化过程。采用类似的方法，Weng和Wong[45]给出了铁电二级畴结构的细观本构模型。

在实际应用中，铁电材料经常处于某一恒定电场中。在这种情况下，力电响应是时间相关的。不同于率无关的铁电畴变或者非弹性变形中的力学蠕变，电致蠕变不是一个热门研究方向。目前，仅有有限的实验研究及唯象理论模型存在。Jiang等[46]给出了铁电复合材料力电耦合及粘弹性行为的理论和实验研究。Kim[47]基于正态分布的自由能模型建立了PZT晶片的本构模型，给出了极化PZT晶片的力学蠕变行为。基于类似的方法，Kim[48]建立室温和高温下铁电多晶体的本构模型，并给出了相应的蠕变行为。然而，以上理论模型均不能给出铁电电致蠕变的物理机制。铁电极化矢量和应变关于时间的演化过程与内在铁电畴变间的关系还有待研究。这是本文的研究重点之一。

铁电和磁电弹复合材料界面裂纹的研究可分为静态裂纹和运动裂纹两个方面。相关综述可参见Chen和Hasebe[49]以及Freund[50]的工作。静态界面裂纹的研究始于Williams[51]，他通过渐进展开法获得了各向同性弹性材料界面裂纹的级数渐进解，裂尖处应力场显示了奇异振荡性。Suo[52]采用Stroh方法[53]证明了界面裂纹裂尖处应力场的数学结构为一个耦合奇异振荡场和一个非振荡奇异场的线性组合。当表征双材料弹性系数的埃尔米特矩阵为一实矩阵时，裂纹尖端场的振荡性消失。故Ⅲ型界面裂纹能够避免振荡性的研究。类似地，Suo等[54]将这一理论由线弹性力学推广至线性压电理论。基于这一理论框架，Ru[55]给出了有限非连续电极嵌入在压电双材料界面处的解析解。Gao和Wang[56]推导了导通电边界条件下压电双材料界面裂纹的格林函数，并获得了裂纹内电场的闭式解。此外，Beom[57]研究了压电双材料力电载荷下的界面裂纹，确认了裂纹尖端场反平方根奇异性和振荡奇异性。此外，Ou和Wu[58]证明了对于横观各向同性压电双材料界面裂纹尖端场的振荡性参数和非振荡性参数间没有关联。

电场相关的Ⅲ型压电界面裂纹分析由于其数学上的简洁性和物理上的实用性吸引了更多的注意。一个有效的研究方法是积分变换法。基于傅里叶积分变换，Narita和Shindo[59]研究了压电层夹于两个弹性材料间的反平面界面裂纹问题，并且发现负电场下应力强度因子比正电场情形下要高。Soh等[60]采用相同的方法研究了双压电层受到反平面剪切力和面内电场作用下的裂纹问题，并给出了电场对应力强度因子的影响。另一个研究裂纹问题的有效方法是复变函数法。Gao和Wang[61]处理了Ⅲ型界面裂纹导通电边界下受到分段均匀反平面力载荷和面内电载荷的问题，并指出场奇异性与电载荷无关。Li和Kardomateas[62]在考虑裂纹内电磁场的情况下通过Stroh方法讨论了Ⅲ型界面裂纹问题，并指出电场方向对界面裂纹可能的扩展方向有影响。Li等[63]通过求解奇异积分方程解决了磁电弹双材料终止于界面处的垂直Ⅲ型裂纹问题，并指出电场的作用在导通边界条件下消失。

然而，基于线性压电理论预测与实验数据间的区别表明需要考虑铁电复合材料非线性耦合现象。此外，Park和Sun[64]测试了铁电材料电场载荷下断裂性能，并发现了超出线性压电范围的影响因素。Fu和Zhang[65]获得了极化PZT陶瓷断裂实验中断裂韧性和施加电场间的非线性关系。此外，dos Santos e Lucato等[66]通过实验将铁电材料的增韧归因于畴变现象。在理论方面，Yang等[67]通过复合Eshelby模型方法研究了均匀材料中夹杂带状铁电畴结构的问题。根据这一工作，Cui和Yang[68]，Cui和Zhong[69]等提出了与多晶铁电断裂实验数据相符的非均匀畴变准则。此外，Wang和Landis[70]给出了电场对Ⅰ型静态裂纹增韧现象的影响。到目前为止，还没有关于电场对铁电界面裂纹畴变增韧调控的研究。这是本文的研究重点之一。

区别于静态界面裂纹，双材料动态界面裂纹的研究同样十分引人关注。大多数研究集中于亚音速裂纹。动态裂纹的研究始于Yoffe[71]关于恒定长度运动裂纹的探讨。另一种动态裂纹模型是Broberg型[72]裂纹，其裂纹长度随扩展过程进行由初始长度开始延长。由于Yoffe型裂纹具有直接类比静态裂纹的特点，在理论研究中更加受到欢迎。Nourazar和Ayatollahi[73]研究了不同压电层间多个运动界面裂纹的问题，并发现场强度因子随裂纹扩展速度的增加而增长。Hu等[74]导出了磁电弹双材料运动界面裂纹动态强度因子的闭式解。Yue和Wan[75]研究了多层压电/压磁复合材料Ⅲ型周期Yoffe型界面裂纹，并详细分析了动态应力强度因子的特点。(www.xing528.com)

此外，磁电弹运动界面裂纹的电磁边界条件对断裂参数有着重要影响[76，77]。导通的界面条件[78]将裂纹看做一条理想的缝隙，假设裂纹不阻碍周围的电磁场。绝缘的界面条件[79]假设裂纹内的介电性和磁导率远低于周围材料，因此裂纹面内的法向介电性和磁导率可以忽略。此外，一些研究者开始考虑裂纹面的电磁场[62，80]，并由此导出半导通的边界条件[81，82]。它比之前的两种边界条件更加真实。

然而，基于线性本构方程的理论预测与实验间的差异显示应该考虑电磁场非线性耦合现象[83，84]。当考虑铁电非线性效应时，Shen等[85，86]通过采用力电屈服模型给出了考虑铁电材料静态和Yoffe型动态裂纹的解。基于这一工作，Chen等[87]给出了均匀铁电体仅考虑电学屈服的Yoffe型裂纹的强度因子。Hu等[88，89]求解了运动Dugdale裂纹分别在铁电材料和磁电弹材料中的扩展，并给出了屈服区和裂纹张开位移的显式表达式。然而，现有的研究并没有给出磁电弹双材料考虑电磁屈服区的运动界面裂纹的研究。本文将采用半导通裂纹边界条件，并退化至绝缘边界条件。这是本文的研究重点之一。

求解裂纹问题的经典方法是建立场方程并直接求解对应的边值问题[90，91]。然而，由于数学上的复杂性，直接求解层状铁电材料界面裂纹的场方程十分困难。守恒积分方法提供了一种不同的方法用于获得控制裂纹扩展的关键参数，并将其与能量释放率等具有清晰物理含义的量关联起来。此外，守恒积分方法仅要求计算一个远离裂纹尖端的路径积分。因此，守恒积分在断裂力学中的研究在近数十年成为一个热点，可参考相关综述[92]。建立守恒积分的基本方法可分为以下三种类型：

第一种类型是采用Noether定理[93]。Noether在她的开创性论文中阐述了守恒积分与变分问题对称群中的关联性。根据这一工作，Knowles和Sternberg[94]通过考虑拉格朗日密度在空间无穷小变换下的不变性，提出了线弹性和有限弹性变形下J积分、M 积分和L积分。Fletcher[95]通过一种更具一般性的群变换建立了线弹性动力学下的守恒积分。Olver[96]给出了均匀弹性静力学变分问题中广义对称性的一般存在条件。Shi和Kuang[97]通过类似的推导获得了线性电磁弹性固体中的守恒积分。第二种类型是Eshelby[98]通过类比静电学中的Maxwell应力张量而提出的线性和非线性弹性力学中的能量 动量张量。Eischen和Herrmann[99]通过对拉格朗日密度在空间坐标下求梯度、散度和旋度获得相应的守恒积分。Wang和Shen[100]采用类似的方法推导了线性电磁弹性固体中的守恒积分和能量释放率。第三种类型是Betti互等定理。Bueckner[101]根据Betti互等定理提出一种功共轭积分，并用来建立权函数以计算控制裂纹扩展的关键参数。J积分和M 积分是功共轭积分的两个具体实例[102]。

复合材料界面裂纹的守恒积分问题已被广泛研究。其中，J积分方法是一种获得界面裂纹控制参数的良好途径。Atkinson[103]获得了准静态弹性层平面和反平面界面裂纹问题的J积分。Yau和Wang[104]采用J积分的一种变形——两态积分，获得了各向同性混合型界面裂纹的能量释放率。Matos[105]等通过虚裂纹扩展方法计算了界面裂纹的J积分值，从而避免了界面裂纹尖端的振荡奇异性问题。Shi和Kuang[106]计算了各向异性弹性双材料平面界面裂纹问题的J积分。Ortiz和Cisilino[107]根据多区域形式的边界元方法计算了三维各向同性弹性材料界面裂纹的J积分问题。此外，J积分由于它与能量释放率的关联性，还被用来作为复合材料的断裂准则[92，103]。

尽管大多数早期守恒积分的研究关注于纯弹性材料，当采用线性本构方程时很容易将其推广至压电材料[92，108，109]。然而，实验结果与基于线性压电模型的理论预测有着显著区别，非线性力电耦合现象需要被考虑。Gao等[110，111]基于电条带屈服模型，通过计算不同积分路径的J积分，给出了均匀铁电体局部和全局情况下的能量释放率。基于相场模型[112]，Li和Landis[113]通过增加极化矢量梯度项给出了适用于均匀铁电体的守恒积分。他们证明了该积分的路径无关性，并将其解释为能量释放率。然而，层状铁电材料守恒积分的研究在文献中还没有出现，因此是本文的研究重点之一。