如何描述区域的形状、拓扑性质以及密集度？

本节主要介绍简单区域描述（包括分散度、伸长度、欧拉数、凹凸性、复杂性、距离、区域面积、区域周长、密集度、位置与方向等）和区域内部变换分析（包括统计矩、投影和截口）。

（一）简单区域描述

简单区域描述即区域内部空间域分析，是指不经过变换而直接在图像的空间域提取形状特征。主要包括分散度、伸长度、欧拉数、凹凸性、复杂性、距离、区域面积、区域周长和密集度等。

1.分散度

分散度能够反映形状的紧凑程度。设图像子集S，面积为A，即包含A个像素，周长为P，则S的分散度定义为

分散度符合人的认识，相同面积的物体，其周长越小，形状越紧凑。圆形的分散度是4π，是最紧凑的形状。其他任何形状的分散度均大于4π。几何形状越复杂，其分散度越大。例如，正方形的分散度为16，等边三角形的分散度为36/。

分散度具有二义性或多义性。如图4-14所示，两个区域具有同样的面积和周长，它们的分散度相同，但是具有不同的形状，所以要识别和区分它们，还必须借助其他的形状描述子。

图4-14　两个具有相同周长和面积的不同形状物体

2.伸长度

设图像子集S的面积为A，宽度为W，定义使S完全消失所需的最小收缩步数为S的伸长度，即

伸长度也符合人的视觉感知，面积一定的区域，其宽度越小，越细长；反之，则越粗短。

3.欧拉数

欧拉数是物体的个数和孔数之差。在一幅图像中，孔数为H，物体连接部分数为C，则欧拉数为

图像的欧拉数是图像的拓扑特性之一，它表明了图像的连通性，可用于目标的识别。例如，图4-15中所示的区域，因为“A”有1个连接部分和1个孔，而“B”有1个连接部分和2个孔，故其欧拉数分别等于0和-1。

图4-15　欧拉数分别为0和-1的图形

用线段表示的区域，也可根据欧拉数来描述。如图4-16所示的多边形网，将其内部区域分成面和孔。如果顶点数为W，边数为Q，面数为F，则其欧拉数为

图中的多边形网有7个顶点、11条边、2个面、1个连接区、3个孔，因此，由上式可得到E=7-11+2=-2。

一幅图像或一个区域中的连接成分数C和孔数H不会受图像的伸长、压缩、旋转、平移的影响。但如果区域撕裂或折叠时，C和H就会发生变化。可见，区域的拓扑性质对区域的全局描述是很有用的，而欧拉数是区域拓扑性的一个较好的描述。

图4-16　包含多角网络的区域

4.凹凸性

凹凸性是区域的基本特征之一。可通过以下方法判别区域的凹凸性：若区域内任意两个像素之间的连线穿过区域外的像素，则此区域为凹形；相反，如果连接区域内任意两个像素的线段不通过该区域以外的像素，则此区域是凸的。

一个凸状物体是没有凹处的，也不会有孔，而且是连通的。但要注意：在数字图像中的凸性物体，在数字化以前的模拟图像中可能有细小凹处，这些细小凹处往往会在取样时被漏掉。

为了应用图像子集的凹凸性分析它的形状特征，常常运用“凸闭包”的概念：即任何一个图形，把包含它的最小凸图形称为这个图形的凸闭包，如图4-17所示。

图4-17　区域的凹凸性

a）凹形　b）凸形　c）中凹形的凸闭包　d）凹形面积

凸图形的凸闭包就是它本身。从凸闭包除去原始图形的部分以后，所产生的图形的位置和形状可作为形状特征分析的重要线索。凹形面积可将凸封闭包减去凹形得到。

5.复杂性

人们对物体形状复杂性的判断不仅依赖于物体自身的许多特性，而且与观察环境、观察者的知识、习惯、经验等心理因素有关，具有一定的主观性。例如，电子工程师认为简单的电子线路图，非专业人士则可能会认为很复杂。因此，物体形状的复杂性是很难进行定义和定量测度的。判断形状的复杂性时，一般可从以下几个方面来考虑：

1）区域边界上曲率极大值越多（即角越多），其复杂性越高。

2）区域边界上的曲率变化越大，其复杂性越高。

3）要确定或描述物体形状所需的信息量越多，其形状越复杂。

例如，考虑一个单连通区域（即无孔，只有一个封闭边界）的形状复杂性，一种简单的方法就是将边界曲线上各点的曲率绝对值相加，和越大，则形状越复杂；另一种方法是计算曲率局部极大值的个数，并用它们的尖锐程度加权。另外，分散度和对称性也是物体复杂性分析的重要因素，描述对称物体比不对称物体所需的信息量少一倍。

形状复杂性可以用离散指数e来表示：

式中，L是该区域边界的周长；S是该区域的面积。该指数描述了区域单位面积的周长大小，e越大，表明单位面积的周长越大，即区域离散，为复杂形状；反之，则为简单形状。e值最小的区域为圆形。典型形状的e值为：圆形e=12.6；正方形e=16.0；正三角形e=20.8。此外，常用于判断形状复杂性的特征量还有区域的幅宽、占有率和直径等。

6.距离

距离在实际图像处理过程中往往作为一个特征量出现，因此对其精度的要求并不高。对于给定图像中的三点A、B和C，当函数D（A，B）满足以下条件时

则把D（A，B）叫作A和B的距离。其中式（4-58）的上式表示距离具有非负性，并且当A和B重合时，等号成立；式（4-58）的中式表示距离具有对称性；式（4-58）的下式是距离的三角不等式。

如图4-18所示，计算像素（i，j）和（h，k）之间的距离常采用以下三种方法：

欧几里得（欧氏）距离

4邻域距离（街区距离）

8邻域距离（棋盘距离）

这三种距离之间的关系是

图4-18　三种距离示意图

a）欧几里得距离　b）街区距离　c）棋盘距离

街区距离和棋盘距离都是欧式距离的一种近似。离开一个像素的等距离线，在欧氏距离中大致呈圆形，在棋盘距离中呈方形，在街区距离中呈倾斜45°的正方形，如图4-19所示。街区距离是图像中两点之间最短的4连通长度，而棋盘距离则是两点之间最短的8连通长度。此外，有时也采用把4邻域距离和8邻域距离组合起来得到的八角形距离，它的等距线呈八角形。

图4-19　离开一个像素的等距离线

a）欧几里得距离b）街区距离c）棋盘距离(www.xing528.com)

7.区域面积

区域面积的计算方法有两种：一种是像素计数面积，即统计区域边界内部（包括边界上）像素的数目。例如，图4-20中的区域面积为S=24。另外一种是用边界坐标计算面积，即对区域的封闭轮廓曲线进行积分，得到其所包围区域的面积。在x-y平面中的一条封闭曲线包围的面积，由其轮廓积分给定

离散形式为

如图4-21所示血管壁内膜轮廓曲线所包围的面积即为管腔的横截面积。对内膜轮廓点进行B样条曲线拟合，得到用参数曲线表示的轮廓线，然后对该曲线积分，就得到管腔的横截面积。

8.区域周长

区域的周长即区域的边界长度，可用相邻边界点之间的距离之和来表示。采用不同的距离公式，对于周长的计算有很多方法。常用的有两种：一种是采用欧氏距离，即在区域的边界像素中，设某像素与其水平或垂直方向上相邻边缘像素之间的距离为1，与倾斜方向上相邻边缘像素之间的距离为，那么周长就是这些像素间距离的总和。通过这种方法计算的周长与实际周长相符，因而计算精度比较高。另一种计算方法是采用8邻域距离，将边界像素的个数总和作为周长。此种方法简单方便，但其结果与实际周长之间有差异。

图4-20　区域面积计算示意图

图4-21　完成血管壁轮廓提取的一帧IVUS图像

9.密集度

度量圆形度最常用的是密集度C，用来描述目标形状接近圆形的程度，其定义为：

式中，S为区域面积，L为区域周长。C值的大小反映了被测量边界的复杂程度，越复杂的形状取值越小，C值越大，则区域越接近圆形。根据此标准，圆是最密集的图形。密集度还有另一意义：即周长给定后，密集度越高，所围面积越大。

10.位置与方向

位置即用物体的面积中心点作为物体的位置。面积中心就是单位面积质量恒定的相同形状图形的质心，即图4-22a中的O点。物体的位置坐标是

如图4-22b所示，若物体是细长的，则可以把其较长方向的轴作为物体的方向。

图4-22　物体的位置和方向示意图

a）位置　b）狭长物体的方向

（二）区域内部变换分析

区域内部变换分析是形状分析的经典方法，包括求区域的各阶统计矩、投影和截口等。

1.统计矩

具有两个变元的有界函数f（x，y）的p+q阶矩mpq定义为

式中，p，q∈{0，1，2，…}，即p和q可取所有的非负整数值，因此产生一个矩的无限集，而且该集合完全可以确定函数f（x，y）本身。换句话说，函数与其矩集合有一一对应的关系：集合{mpq}对于函数f（x，y）是唯一的，也只有f（x，y）才具有该特定的矩集。

大小为n×m的数字图像f（i，j）的p+q阶矩为0阶矩只有一个

m00是图像中各像素灰度的总和，二值图像的m00则表示目标物的面积。1阶矩有两个，高阶矩则更多。用m00除所有的1阶矩和高阶矩可以使它们和物体的大小无关。

如果用m00来归一化1阶矩m10和m01，则得到目标物体的质心（即形心）坐标：

中心矩是以质心作为原点进行计算的：

假设R是用二值图像表示的物体，则R的第p+q阶中心矩为：

式中，（xc，yc）是物体的质心。中心矩具有位置无关性，利用中心矩可以提取区域的一些基本形状特征。利用式（4-71）可以计算出三阶以下的中心矩：

一阶矩与形状有关，二阶矩显示曲线围绕直线平均值的扩展程度，三阶矩则是关于平均值的对称性的测量。

物体的中心主轴方向角θ可以由下式得出：

为获得缩放无关的性质，可以对中心矩进行归一化操作，即把上述中心矩用零阶中心矩来归一化，叫作归一化中心矩，记作ηpq：

式中，γ=（p+q）/2+1；p+q=2，3，4，…。

相对于主轴计算并用面积归一化的中心矩，在物体放大、平移和旋转时保持不变。单纯的中心矩尽管可以表征平面物体的几何形状，但都不具有不变性，但可以由这些矩构造不变量。这种方法最初是由Ming-Kuei Hu在1962年提出的，他利用归一化二阶和三阶中心矩，导出7个具有变换、旋转和缩放无关性的矩：

不变矩描述分割出的区域时，具有对平移、旋转和缩放都不变的性质。图4-23给出一组由同一幅图像得到的不同变形，验证上述7个矩的不变性。

图4-23　由同一幅图像得到的不同变形

a）原始图像　b）将图a）旋转45°的结果；　c）将图a）的尺度缩小一半的结果　d）图a）的镜面对称图像

不变矩是图像的统计特性，满足平移、伸缩、旋转的不变性，在图像识别领域得到了广泛的应用。不变矩具备了好的形状特征所应该具有的某些性质，但它们并不能够确保在任意特定的情况下都具有这些性质。因此，要区别相似形状的物体需要一个很大的特征集。这样所产生的高维分类器对噪声和类内变化十分敏感。

利用不变矩的目标识别算法可按以下步骤进行：

1）对初始目标图像和测试图像进行预处理，将目标从背景中分割出来，将灰度图像转换成二值化图像。

2）提取目标的边缘，并计算目标区域和边界的中心矩。

3）对上述两组中心矩进行归一化，在归一化的基础上计算出7个不矩（式（4-76）），共同组成目标图像和测试图像中目标的特征向量。

4）计算两个向量之间的欧氏距离D，即为目标图像和测试图像的归一化特征向量的欧氏距离。预先设定一个阈值L，以确定两者的相似度，如果D＜L，则测试图像中的目标是要寻找的目标，反之则不是。

2.投影和截口

大小为n×n的图像f（i，j）在i轴上的投影为

在j轴上的投影为

式中，i=1，2，…，n。由以上两式所绘出的曲线都是离散曲线。这样就把二维图像的形状分析转化为对一维离散曲线的波形分析。固定i0，得到图像f（i，j）的过i0而平行于j轴的截口f（i0，j），j=1，2，…，n。固定j0，得到图像f（i，j）的过j0而平行于i轴的截口f（i，j0），i=1，2，…，n。图像f（i，j）的截口长度为