经典的图像复原方法有哪些？

一般可采用两种方法对退化图像进行复原，一种是估计方法，即估计图像被已知的退化过程影响以前的情况，适用于对于图像确实先验知识的情况，此时可以对退化过程建立模型并进行描述，进而寻找一种去除或削弱其影响的过程。另一种是检测方法，即如果对于原始图像有足够的先验知识，则对原始图像建立一个数学模型，并据此对退化图像进行复原。例如，假设已知图像仅含有确定大小的圆形物体，则原始图像仅有很少的几个参数（如圆形物体的数目、位置、幅度等）未知。

图像复原算法有线性和非线性两类。线性算法通过对图像进行逆滤波来实现反卷积，这类方法方便快捷，无须循环或迭代，就可直接得到反卷积结果，但是无法保证图像的线性。而非线性方法是通过连续的迭代过程不断提高复原质量，直到满足预先设定的终止条件，结果往往是令人满意的。但是迭代过程会导致计算量很大，图像复原的耗时较长。实际应用中还需要对两种处理方法进行综合考虑和选择。

在实际的图像复员工作中，针对各种不同的具体情况，需要用特定的复原方法去解决。

（一）非约束复原的基本方法

当图像退化系统为线性不变系统，且噪声为加性噪声时，可将复原问题在线性系统理论的框架内处理。非约束复原就是指对退化模型g=Hf+n，在已知退化图像g的情况下，根据对退化系统H和n的了解和假设，估计出原始图像f，使得某种事先确定的误差准则为最小，其中最常见的准则为最小二乘准则。

若n=0或对噪声一无所知，则可以把复原问题当作一个最小二乘问题来解决。令为与其近似向量f之间的残差向量，则有

使目标函数

最小化，其中‖·‖是一个向量的2-范数，即其各元素二次方和的均方根。令W对的导数等于0，得

求解由于H为方阵，得

（二）逆滤波

在许多实际场合，图像退化模型可以认为是一个线性模糊（例如运动、大气扰动和离焦等）和一个加型高斯噪声的合成，图像复原可以通过设计复原滤波器，即逆滤波（去卷积）来实现。逆滤波又叫反向滤波，是最早应用于数字图像复原的一种方法，是非约束复原的一种。

由式（2-40）可知

逆滤波法是指在对n没有先验知识的情况下，可以依据这样的最优准则，即寻找一个使得Hf在最小二乘误差的意义下最接近g，即要使n的模或2-范数最小：

上式的极小值为

如果我们在求最小值的过程中不做任何约束，由极值条件可以解出为

对上式进行傅立叶变换得

可见，如果知道g（x，y）和h（x，y），也就知道了G（u，ν）和H（u，ν），根据上式即可得出，再经过傅立叶逆变换就能求出原图像在有噪声的情况下，由式（2-38）可知

也就是说，该方法是用退化函数除退化图像的傅立叶变换来计算原始图像的傅立叶变换估计值，这个公式说明逆滤波对于没有被噪声污染的图像很有效，这里不考虑在空间的某些位置上当H（u，ν）接近于0时可能遇到的计算问题，忽略这些点在恢复结果中并不会产生可感觉到的影响。若H（u，ν）出现奇异点或者H（u，ν）非常小的时候，即使没有噪声，也无法精确恢复f（x，y）。另外，在高频处H（u，ν）的幅值较小时，或当噪声存在时，H（u，ν）可能比N（u，ν）的值小得多，噪声的影响可能变得显著，这样也可能使得f（x，y）无法正确恢复。为了克服H（u，ν）接近0所引起的问题，通常在分母中加入一个小的常数k，将式（2-57）修改为

（三）维纳滤波法

在大部分图像中，邻近的像素是高度相关的，而距离较远的像素则相关性较弱。由此，我们可以认为典型图像的自相关函数通常会随着与原点距离的增加而下降。由于图像的功率谱是图像本身自相关函数的傅立叶变换，因此可以认为图像的功率谱随着频率的升高而下降。一般地，噪声源往往具有平坦的功率谱，即使不是如此，其随着频率的增加而下降的趋势也要比典型图像的功率谱慢得多。因此，图像功率谱的低频成分以信号为主，而高频部分则主要被噪声所占据。由于逆滤波器的幅值常随着频率的升高而升高，因此会增强高频部分的噪声。为了克服以上缺点，提出了采用最小均方误差的方法（维纳滤波）进行模糊图像的恢复。

维纳（Wiener）滤波可以归于反卷积（或反转滤波）算法一类，它是由Wiener首先提出的，应用于一维信号处理时取得了很好的效果。在图像复原方面，由于维纳滤波计算量小，复原效果好，并且抗噪性能优良，得到了广泛的应用和发展，许多高效的复原算法都是以此为基础形成的。

维纳滤波也是最小二乘滤波，是使原始图像f（x，y）与其恢复图像之间的均方误差最小的复原方法。由式（2-37）可知原始图像f（x，y）、退化图像g（x，y）和图像噪声n（x，y）之间的关系它们都是随机的，并假设噪声的统计特性已知。因此给定了g（x，y），仍然不能精确求解f（x，y），只能找出f（x，y）的一个估计值f（x，y），使得均方误差式

最小。

式中是给定g（x，y）对f（x，y）的最小二乘估计；E[·]是求期望。该式在频域可表示为

式中，H（u，ν）表示退化函数，|H（u，ν）|2=H∗（u，ν）H（u，ν），H∗（u，ν）表示H（u，ν）的复共轭，Sn（u，ν）=|N（u，ν）|2表示噪声的功率谱，Sf（u，ν）=|F（u，ν）|2表示未退化图像的功率谱。γ=1时，为标准维纳滤波器；γ≠1时，为含参维纳滤波器。没有噪声（即Sn（u，ν）=0）时维纳滤波器退化成理想逆滤波器。实际应用中必须调节γ以使式（2-59）最小。因为实际很难求得和Sn（u，ν）和Sf（u，ν），因此可以用一个比值k代替噪声和未退化图像的功率谱之比，从而得到简化的维纳滤波公式

对一幅灰度图像的逆滤波和维纳滤波复原图像的结果如图2-12所示，可见图2-12d的维纳滤波复原结果明显比图2-12c的逆滤波复原结果更接近原始图像。

（四）有约束最小二乘复原（正则滤波法）(www.xing528.com)

正则滤波即约束的最小二乘滤波。由于大多数图像恢复问题都不具有唯一解，或者说恢复过程具有病态特征，因此在最小二乘复原处理中通常需要对运算施加某种约束。例如，令Q为对图像f施加的某一线性算子，那么最小二乘复原的问题可以看成使形式为的函数，服从约束条件

图2-12　逆滤波和维纳滤波复原图像结果

a）原始图像　b）退化图像　c）逆滤波复原结果　d）维纳滤波复原结果

的最小化问题，这种有附加条件的极值问题可以用拉格朗日乘数法来处理。

寻找一个使下述准则函数为最小

式中，λ为一个常数，称作拉格朗日系数。通过指定不同的Q，可以达到不同的复原目标。令

可得

解得

式中γ=1/λ，为一个必须调整使式（2-61）成立的函数，这是求有约束最小二乘复原解的通用形式。

把式（2-66）代入式（2-62）中可以证明，‖n‖2是γ的单调递增函数，因此可以用迭代法求出满足约束条件（2-62）式的待定系数γ。首先任取一个γ代入式（2-66），把求得的再代入式（2-62），若结果大于‖n‖2时，便减少γ，反之增大γ，再重复上述过程，直到满足约束条件式（2-62）为止。实际求解时，只要能使‖g-Hf‖2-‖n‖2小于某一给定值就可以了。把求得的γ代入，最后求得最佳估计^f。

应用有约束最小二乘方恢复方法时，只需有关噪声均值和方差的知识就可对每幅给定的图像给出最佳恢复结果。

（五）Richardson-Lucy算法（RL算法）

RL算法是一种迭代的非线性复原算法，它假设图像服从泊松（Poisson）噪声分布，采用最大似然法进行估计，是一种基于贝叶斯分析的迭代算法。

对于泊松噪声分布，图像I的似然概率可以表达为

BP=Poisson（（I∗K）（x））为泊松过程。图像I的最大似然解是通过最小化下面的能量函数得到的

式中

对上式求导，并假设归一化的模糊核K（∫K（x）dx=2），得到RL算法的迭代式

式中，K∗为K的伴随矩阵，即K∗（i，j）=K（-j，-i）；t为迭代次数。

RL算法有两个重要特性：非负性和能量保持性质。非负性保证估计值都是正值，同时迭代过程中保持全部能量，这保证了RL算法的优越性。同时，RL算法的效率也是比较高的，每次迭代仅需要两个卷积和两个乘法操作。

但RL算法也存在一些缺陷，使其在实际应用中存在局限性：第一是振铃效应，当迭代次数增加时，能恢复更多的图像细节，但是平滑区域的振铃效应也会增多，影响图像恢复的质量；第二是噪声放大问题，RL算法在噪声影响可忽略或较小的情况下具有唯一解，但尚未涉及噪声对复原结果的影响。经多次迭代，尤其是在低信噪比的情况下，重建图像可能会出现一些斑点，这些斑点并不代表图像的真实结构，是输出图像过于逼近噪声所产生的结果。因此，对于实际应用中常见的低信噪比图像，在每一次迭代中噪声都会被放大，这也严重影响了图像复原的质量，难以获得较好的复原效果。

（六）盲去卷积

盲信号处理（Blind Signal Prcessing，BSP）是目前信号处理中最热门的新兴技术之一，其目标是在没有任何或很少关于源信号和混合先验知识的前提下，从一组混合（或观测）信号中恢复原始信号。在考虑时间延迟的情况下，观测到的信号应该是源信号和通道的卷积，对卷积混叠信号进行盲分离通常称为盲去卷积（或盲反卷积）（Blind Deconvolution，BD）。盲去卷积的基本步骤是：首先根据研究的问题建立模型，然后根据信息理论和统计理论等方法建立目标函数，在不同的应用中，目标函数或其期望值可能被称为代价函数、损失函数或对比函数等；最后寻求一种有效的算法。

图像复原最困难的问题之一是如何获得对点扩散函数（PSF）的恰当估计。根据PSF是否已知，去卷积分为盲去卷积和非盲去卷积。非盲去卷积方法是在PSF已知的情况下，由退化图像求得清晰图像的近似。由于存在噪声，以及退化过程高频信息的丢失，去模糊问题也是欠约束的，经典算法有维纳滤波、卡尔曼滤波和RL算法等，这些方法在图像复原的过程中会出现振铃效应和噪声放大等问题。而那些不以PSF为基础的图像复原方法统称为盲去卷积，由于PSF未知，因而这类问题变得更加复杂。盲去卷积的方法已经受到了人们的极大重视，对于给定的原图像，使其退化，得到退化图像，再利用盲去卷积的方法使其恢复，得到视觉效果更好的图像。

盲去卷积图像复原算法可以分为两步：先估计PSF，再使用非盲去卷积算法去模糊。也可以把这两个过程同时进行，交替估计PSF和清晰图像，交替优化，直到得到满意的结果。该算法优点是，可同时恢复图像和点扩散函数，在对失真情况毫无先验知识的情况下，仍能实现对模糊图像的恢复操作。

本节介绍了图像退化的数学模型和几种常用的图像复原方法，包括逆滤波法、有约束最小二乘法、维纳滤波法、RL法和盲去卷积。逆滤波对噪声比较敏感，恢复结果受噪声的影响较大；有约束最小二乘法在无噪声或者噪声很小的情况下恢复效果比较理想，对于含有一定强度噪声的情况，恢复效果也不理想；在不含有噪声的情况下，RL法的恢复效果随着迭代次数的增加而变得越来越好，但是对于含有噪声的图片，RL法会对噪声进行放大，而且迭代次数的增加也会导致计算量大幅增加，不利于图像的实时复原；维纳滤波法可以通过选择合适的参数来抑制噪声，而且其算法是在频域完成的，计算速度相对来说要优于其他算法。