图像退化的数学建模优化

图像复原要求对图像降质的原因有一定的了解，一般应根据降质过程建立降质模型，再采用某种滤波方法，恢复或重建原来的图像。决定图像复原方法有效性的关键之一是描述图像退化过程模型的精确性。要建立图像的退化模型，首先必须了解和分析图像退化的机理并用数学模型表现出来。在实际的图像处理过程中，图像均用数字离散函数表示，所以必须将退化模型离散化。

输入图像f（x，y）经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像。为了讨论方便，一般把噪声引起的退化即噪声对图像的影响，作为加性噪声考虑，这也与许多实际应用情况一致，如图像数字化时的量化噪声、随机噪声等就可以作为加性噪声，即使不是加性噪声而是乘性噪声，也可以用对数方式将其转化为相加形式。如图2-11所示，原始图像f（x，y）经过一个退化算子或退化系统h（x，y）的作用，再和噪声n（x，y）进行叠加，形成退化后的图像（x，y）：

式中，h（·）概括了退化系统的物理过程，就是要寻找的退化数学模型；n（x，y）是一种具有统计性质的信息，在实际应用中往往假设噪声是白噪声，即它的平均功率谱密度为常数，并且与图像不相关。数字图像的图像恢复问题，可看作是根据退化图像g（x，y）和退化算子h（x，y）的形式，沿着反向过程去求解原始图像f（x，y），或者说是逆向地寻找原始图像的最佳近似估计。

图2-11　图像的退化模型

在图像复原处理中，尽管非线性、时变和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，更与复杂的退化环境相接近，但它给实际处理工作带来了很大的困难。因此，往往用线性系统和空间不变系统模型来加以近似，这使得线性系统中的许多理论可直接用于解决图像复原问题，同时又不失可用性。

假设退化系统是线性和空间不变的，则连续函数的空域退化模型可表示为即图像退化的过程可以表示为清晰图像和点扩散函数（Point Spread Function，PSF）的卷积加上噪声。上式的频域形式为

式中，G（u，ν）、f（u，ν）和N（u，ν）分别是退化图像g（x，y）、原图像f（x，y）和噪声信号n（x，y）的傅立叶变换；h（x，y）和H（u，ν）分别是退化系统的单位冲激响应和频率响应。

数字图像的恢复问题就是根据退化图像g（x，y）和退化算子h（x，y），反向求解原始图像f（x，y），或已知G（x，ν）和H（u，ν）反求F（u，ν）的问题。

如果式（2-37）中的g、f、h和n按相同间隔采样，产生相应的阵列[g（i，j）]AB、[f（i，j）]AB、[h（i，j）]CD和[n（i，j）]AB，然后将这些阵列补零增广得到大小为M×N的周期阵列，为了避免混叠误差，这里M≥A+C-1，N≥B+D-1。当k=0，1，…，M-1且l=0，1，…，N-1时，即可得到二维离散退化模型

上式的矩阵表示可写为

式中，g、f和n为行堆叠形成的MN×1列向量，分别是退化图像、原始图像和加型噪声向量；H为MN×MN的块循环矩阵，是线性空间不变系统的点扩展函数的离散形式。

实际应用中，造成图像退化或降质的原因很多，下面列出几种常见的图像退化模型：

1.线性移动降质

因为摄像时相机和被摄景物之间有相对运动而造成的图像模糊称为运动模糊。所得到图像中的景物往往会模糊不清，我们称其为运动模糊图像。运动造成的图像退化是非常普遍的现象，例如城市中的交通管理部门通常在重要的路口设置“电子眼”即交通监视系统，及时记录下违反交通规则的车辆的车牌号。摄像机摄取的画面有时是模糊不清的，这就需要运用运动模糊图像复原技术进行图像复原，来得到违章车辆可辨认的车牌图像。

因为变速的非直线运动在某些条件下可以被分解为分段匀速直线运动，因此这里只给出由匀速直线运动所致图像模糊的退化模型。假设图像f（x，y）相对于摄像机存在平面运动，x0（t）和y0（t）分别为x和y方向上的位移分量，T是运动的时间。则模糊后的图像g（x，y）为

运动模糊图像实际上就是同一景物的图像经过一系列的距离延迟后再叠加形成的图像。运动模糊与时间无关，只与运动的距离有关。

水平方向的匀速线性移动可用以下降质函数来描述：(www.xing528.com)

式中，d是降质函数的长度，即图像中景物移动的像素数的整数近似值；h（x，y）为点扩散函数。

沿其他方向的线性移动降质函数可仿照上式类似定义。则退化图像为

2.散焦降质

当镜头散焦时，光学系统造成的图像降质相应的点扩展函数是一个均匀分布的圆形光斑。此时，降质函数可表示为

式中，R是散焦半径。

3.高斯降质

高斯（Gauss）降质函数是许多光学测量系统和成像系统（如光学相机、CCD摄像机、γ射线成像仪、CT成像仪、成像雷达、显微光学系统等）中最常见的降质函数。对于这些系统，决定系统点扩展函数的因素比较多，但众多因素综合的结果使点扩展函数趋近于Gauss型。Gauss降质函数可以表达为

式中，K是归一化常数；α是正常数；C是h（m，n）的圆形支持域。

4.离焦模糊

由于焦距不当导致的图像模糊可以用如下函数表示：

式中，J1是一阶Bessel函数；r2=v2+ν2；a是位移。

该模式不具有空间不变性。

5.大气扰动

在遥感和天文观测中，大气的扰动也会造成图像的模糊，它是由大气的不均匀性使穿过的光线偏离引起的。这种退化的点扩散函数为：

式中，c是一个依赖扰动类型的变量，通常通过实验来确定。幂5/6有时用1来代替。