基于点操作的图像增强技术优化方法

基于点操作的图像增强是指在空间域内直接对图像进行点运算，修正像素灰度。本节主要介绍图像灰度变换和直方图增强。

（一）灰度变换

由于图像的亮度范围不足或非线性会使图像的对比度不理想。灰度变换（Gray-Scale Transformation，GST）是将原图中像素的灰度经过一个变换函数转化成一个新的灰度，以调整图像灰度的动态范围，从而增强图像的对比度，使图像更加清晰，特征更加明显。它不改变图像内的空间关系，除了灰度级的改变是根据某种特定的灰度变换函数进行之外，可以看作是“从像素到像素”的复制操作。灰度变换有时又被称为图像的对比度增强或对比度拉伸。

设原图像为f（x，y），处理后的图像为g（x，y），则灰度变换可表示为

式中，T（·）是对f的操作，定义在当前像素（x，y）的邻域，它描述了输入灰度值和输出灰度值之间的转换关系。T也能对输入图像集进行操作，例如为了增强整幅图像的亮度而对图像进行逐个像素的操作。

T操作最简单的形式是针对单个像素，也就是在当前像素的1×1邻域中，g仅依赖于f在点（x，y）的值，T操作即为灰度级变换函数

式中，r和s分别是f（x，y）和g（x，y）在点（x，y）的灰度级。也就是说，将输入图像f（x，y）中的灰度r，通过映射函数映射成输出图像g（x，y）中的灰度s，其运算结果与被处理像素位置及其邻域灰度无关。

根据变换函数的形式，灰度变换分为线性变换和非线性变换，非线性变换包括对数变换和指数（幂次）变换。

1.线性变换

灰度线性变换表示对输入图像灰度作线性扩张或压缩，映射函数为一个直线方程。假定原图像f（x，y）的灰度级范围为[a，b]，希望变换后的图像g（x，y）的灰度级范围线性地扩展至[c，d]。对于图像中一点（x，y）的灰度值f（x，y），线性变换表示式为

此关系式可用图2-4a表示。若原始图像中大部分像素的灰度级分布在区间[a，b]内，只有很小一部分的灰度级超过了此区间，则为了改善增强效果，可以令

式中，Fmax是原始图像f（x，y）的最大灰度值。

上式表示采用斜率大于1的线性变换来进行扩展，而把其他区间用a或b来表示，如图2-4b所示。

图2-4　灰度线性变换

a）在[a、b]区间内　b）超过[a、b]区间

在曝光不足或过度曝光的情况下，图像的灰度级可能会局限在一个很小的范围内，这时图像可能会表现得模糊不清，或者没有灰度层次。采用线性变换对图像像素的灰度进行线性拉伸，就可以有效地改善图像的视觉效果。例如图2-5b就是对图2-5a进行线性灰度变换的结果。

图2-5　灰度线性变换示例

a）原始图像　b）变换后的图像

2.分段线性变换

分段线性变换即灰度切割，其目的是增强特定范围内的对比度，用来突出图像中特定灰度范围的亮度。它与线性变换相似，都是对输入图像的灰度对比度进行拉伸，只是对不同灰度范围进行不同的映射处理，从而突出感兴趣目标所在的灰度区间，抑制其他的灰度区间。

其基本原理是将原图像的灰度分布区间划分为若干个子区间，对每个子区间采取不同的线性变换。选择不同的参数可以实现不同灰度区间的灰度扩张和压缩，所以分段线性变换的使用是非常灵活的。通过增加灰度区间分割的段数，以及调节各个区间的分割点和变换直线的斜率，就可以对任何一个灰度区间进行扩展和压缩。

常用的是三段线性变换法，如图2-6所示，其数学表达式为：

图2-6　灰度分段线性变换

式中，Fmax和Gmax分别是原始图像f（x，y）和变换后图像g（x，y）的最大灰度值。

显然对灰度区间[a，b]进行了线性变换，而灰度区间[0，a]和[b，Fmax]受到了压缩。通过调整折线拐点的位置及控制分段直线的斜率，可对任一灰度区间进行扩展或压缩。即在扩展感兴趣的[a，b]区间的同时，为了保留其他区间的灰度层次，也对其他区间进行压缩。

3.反转变换

灰度反转是指对图像灰度范围进行线性或非线性取反，简单来说就是使黑变白，使白变黑，将原始图像的灰度值进行翻转，使输出图像的灰度随输入图像的灰度增加而减少。假设对灰度级范围是[0，L-1]的输入图像f（x，y）求反，则输出图像像素的灰度值g（x，y）与输入图像像素灰度值f（x，y）之间的关系为

反转变换适用于增强嵌入于图像暗色区域的白色或灰色细节，如图2-7所示，特别是当黑色面积占主导地位时。

图2-7　反转变换示例

a）原始图像　b）变换后的图像

4.对数变换（动态范围压缩）

在某些情况下，例如在显示图像的傅立叶谱时，其动态范围远远超过显示设备的上限，在这种情况下，所显示的图像相对于原图像就存在失真。要消除这种因动态范围太大而引起的失真，一种有效的方法是对原图像的动态范围进行压缩，最常用的方法是对数变换。

对数变换是指输出图像像素的灰度值g（x，y）与对应的输入图像像素的灰度值f（x，y）之间为对数关系

式中c为尺度比例常数，其取值可以结合原图像的动态范围以及显示设备的显示能力而定。为了增加变换的动态范围，在式（2-19）中可以加入一些调制参数，即

式中，a、b和c都是为便于调整曲线的位置和形状而引入的参数，a为y轴上的截距，用以确定变换曲线的初始位置的变换关系，b和c两个参数确定变换曲线的变化速率。

图像灰度的对数变换可在很大程度上压缩图像灰度值的动态范围，扩张数值较小的灰度范围，压缩数值较大的图像灰度范围，使一窄带低灰度输入图像值映射为一宽带输入值，较适用于过暗的图像，用来扩展被压缩的高值图像中的暗像素，从而使图像的灰度分布均匀，与人的视觉特性相匹配。(www.xing528.com)

5.指数（幂次）变换

指数变换函数为

式中，c是可以调整的参数。幂次变换是通过指数函数中的γ值把输入的窄带值映射到宽带输出值。当γ＜1时，把输入的窄带暗值映射到宽带输出亮值；当γ＞1时，把输入高值映射为宽带输出值。

（二）直方图增强

1.灰度直方图的原理

对应于每一个灰度值，统计出具有该灰度值的像素数，并据此绘出像素数-灰度值图形，则该图形称为该图像的灰度直方图，简称直方图。其横坐标是灰度值，纵坐标是具有某个灰度值的像素数，有时也用某一灰度值的像素数占全图总像素数的百分比（即某一灰度值出现的频数）作为纵坐标。图像的灰度直方图事实上就是图像亮度分布的概率密度函数，用来反映数字图像中的每一个灰度级与其出现频率之间的关系，是一幅图像所有像素集合的最基本的统计规律。

灰度级范围为[0，L-1]的数字图像的直方图是离散函数

式中，rk是第k级灰度；nk是图像中灰度级为rk的像素个数。常以图像中像素的总数（用n表示）来除它的每一个值得到归一化的直方图

式中，k=0，1，…，L-1。P（rk）是灰度值rk发生的概率值，即rk出现的频数，因此归一化直方图的所有值之和应等于1。

灰度直方图具有如下性质：

1）直方图是一幅图像中各像素灰度出现频率数的统计结果，它只反映图像中不同灰度值出现的次数，不反映某一灰度所在的位置。也就是说，它只包含该图像的某一灰度像素出现的概率，而忽略其所在的位置信息。

2）任意一幅图像都有唯一确定的直方图与之对应。但不同的图像可能有相同的直方图，即图像与直方图之间是多对一的映射关系。

3）由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的，因此一幅图像各子区的直方图之和等于该图像全图的直方图。

直方图是多种空间域图像处理技术的基础，直方图操作能有效地用于图像增强。除了提供有用的图像统计资料外，直方图固有的信息在其他图像处理的应用中也是非常有用的，如图像压缩与分割。

2.直方图均衡化

直方图均衡化是一种最常用的直方图修正方法，如图2-8b所示。在图像处理前期经常要采用此方法来修正图像。它是指运用灰度点运算来实现原始图像直方图的变换，得到一幅灰度直方图为均匀分布的新图像，使得图像的灰度分布趋向均匀，图像所占有的像素灰度间距拉开，加大图像的反差，改善视觉效果，达到图像增强的目的。

设原始图像f（x，y）的灰度级范围为[0，L-1]，其像素灰度值用r表示，假设r被归一化到区间[0，1]中。做如下变换：s=T（r），则原始图像的每一个r产生一个灰度值s。可以假设变换函数T（r）满足如下条件：a）T（r）在区间0≤r≤1中为单值且单调递减；b）当0≤r≤1时，0≤T（r）≤1。条件a）要求T（r）为单值是为了保证存在反变换，单调是为了保持输出图像的灰度值从黑到白顺序增加。条件b）保证输出灰度级与输入灰度级有同样的范围。由s到r的反变换可以表示为r=T-1（s），其中0≤s≤1。

一幅图像的灰度级可被视为区间[0，1]的随机变量。令Pr（r）和Ps（s）分别表示随机变量r和s的概率密度函数。由基本概率理论可知：如果Pr（r）和T（r）已知，且满足条件a），那么变换变量s的概率密度函数Ps（s）可由下式得到：

因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像灰度级的概率密度函数和所选择的变换函数决定。

直方图均衡化的变换函数可表示为

式（2-25）的右部为随机变量r的累积分布函数，显然该变换函数是单值且单调增加，即满足条件a）。类似地，区间[0，1]上变量的概率密度函数的积分也在区间[0，1]中，因此也满足条件b）。式（2-25）的离散化形式为

采用直方图均衡化方法进行图像增强的步骤如下：

1）按照式（2-23）统计原始图像的直方图。

2）按照式（2-26）计算直方图累积分布曲线。

3）用步骤2）得到的累积分布函数作变换函数进行图像灰度变换：根据计算得到的累积分布函数，建立输入图像与输出图像灰度级之间的对应关系，即通过与归一化灰度等级rk比较，重新定位累计分布函数sk，寻找最接近的一个作为原灰度级k变换后的新灰度级。

3.直方图规定化

直方图均衡化的优点是能自动增强整幅图像的对比度，得到全局均衡化的直方图。但是在某些应用中，并不一定需要增强后的图像具有均匀的直方图，而是需要具有特定形状的直方图，以便能够增强图像中的某些灰度级，突出感兴趣的灰度范围。直方图规定化（或规格化）方法就是针对这种需求提出来的，是一种使原始图像灰度直方图变成规定形状的直方图而对图像进行修正的增强方法，如图2-8c所示。如使被处理图像与某一标准图像具有相同的直方图，或者使图像的直方图具有某一特定的函数形式等。

直方图规定化是在运用均衡化原理的基础上，通过建立原始图像和期望图像之间的关系，选择性地控制直方图，将原始图像的直方图转化为指定的直方图，从而弥补直方图均衡化不具备交互作用的缺点，可用来校正因拍摄亮度或者传感器的变化而导致的图像差异。

图2-8　灰度直方图均衡化和规定化示例

a）原始图像及其直方图　b）直方图均衡化后的图像及其直方图　c）直方图规定化后的图像及其直方图

直方图规定化的主要步骤如下：

令pr（r）和pz（z）分别为原始图像和期望图像的灰度概率密度函数。首先对原始图像和期望图像均作直方图均衡化处理，即

由于都是进行均衡化处理，因此处理后的原图像概率密度函数及理想图像概率密度函数是相等的，即pr（r）和pz（z）具有同样的均匀密度，即vk=sk。针对式（2-28）的逆变换函数，将sk代入，其结果就是要求的灰度级

此外，利用式（2-27）还可得到组合变换函数

直方图均衡化采用的变换函数是累积分布函数，其实现方法简单，效率也较高，但只能产生近似均匀分布的直方图，其弊端也是显而易见的。直方图规定化方法可以得到具有特定需要的直方图的图像，克服了变换函数单一的缺点。