导体试件和探针之间的静电力优化

探针针尖和试件在外加电场作用下将产生静电力。当试件材料为导体时，试件和探针之间将形成电容，探针针尖形状可以视为球型，模型如图6.19所示。探针针尖部分形状可以由3个参数来确定：针尖球形半径R，球形链接角θ和针尖长度L。当某个偏置电压V bias加载于探针和试件之间时，在探针针尖和试件表面形成相反的感应电荷。在感应电荷的作用下，探针和试件之间形成静电力。由静电场理论可以将静电力F的大小表示为

式中，F（x）为探针与试件之间的静电力；

C（x）为探针与试件之间所形成的电容；

d（x）为探针针尖到试件的垂直距离（沿试件的法线方向）；

V bias为所加载的偏置电压；

V cpd（x）为接触电位差。

由式（6.12）可以看出，静电力与尖端-样品电容相对于尖端-样品距离的导数成比例关系。换句话说，有必要探索静电力F（x）和尖端-样品距离d（x）之间的关系。分析静电力F和尖端-样品距离d之间关系的方法主要有解析法和数值法，其中有限差分法是一种有效的数值计算方法。

图6.19　探针针尖和试样之间的静电场模型

使用有限差分法分析探针受力，首先选取一有限边界框，其边长等于样本表面形貌的一个周期，包围探针尖端和试样表面周围的空间域，将其分成有限数量的小立方体框，网格长度为l，将网格交叉点称为网格点。从式（6.12）可知，主要目标为获得电容C（x）和尖端-试样距离d（x）之间的关系，最终用来表达探针所受静电力F（x）和尖端-试样距离d（x）之间的关系。电容C（x）可以从有限边界框内的电位分布计算，因为电位值是标量。

在有限边界框内空间的电位可以用拉普拉斯方程表示如式（6.13）所示。

式中，v为空间点的电势值。

以图6.20中的网格0为例，导数值可近似用有限差分方程表示，如公式（6.14）所示。

图6.20　有限差分法原理图

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式中，vn为网格n处的电势值；

lmn为从网格m到网格n的距离，也就是说lmn等于网格长度l。

那么，就可以通过其六个空间邻近网格点获得网格0处的电势值。有限边界框表面上的电势值被设置为0或等于试样的电势值作为拉普拉斯方程的边界条件。使用松弛算法，将边界框内的每个网格点处的电势值更新一定次数（一般大约需要数千次），直到可以计算出相对准确的电位值。因此，可以获得边界框内的电位分布。

图6.21为一个有限差分法的计算示例结果，这里探头尖端和样品之间施加的电压为50 V，样品接地。探针尖端形状由半球形和圆锥台组合而成，其中R为40 nm，L为400 nm，θ为10°。样品具有正弦曲线，其中T为160 nm，幅度A为100 nm。图6.21（a）显示了xz平面上有限边界框中心截面的电位分布，图6.21（b）显示了在样品表面上方一个网格长度的层的电位分布俯视图。有限边界框的体积为480×480×700 nm3，网格长度为1 nm，有限边界框内的每个网格更新10 000次。

图6.21　有限边界框内的电位分布计算结果示例图

在有限边界框内获得整个电位分布后，在样品表面上方一个网格长度的层上的电位分布是电容计算的最重要结果。在试样表面上方的一个网格长度和试样表面之间存在一个小的静电场ΔE，该小静电场的强度可以表示为

其中，V surf+l和V surf分别定义为样品表面上和样品表面上一个网格长度的层上的电位。因此，总的感应电荷量可以通过高斯定律计算得

式中，S为在样品表面上方一个网格长度的层与样本表面下方一个网格

长度的层之间的封闭体积；

Q（x）为感应总电荷量；

ε0为真空的介电常数。

探针尖端和样品表面之间的电容C（x）可以通过式（6.16）计算

然后，沿z方向移动探针尖端以改变尖端-样本距离d（x）；最后，可以获得静电力F（x）和尖端-样本距离d（x）之间的关系，可以用式（6.12）表示。