横向振动梁式谐振子（具有结构简单、便于设计等优点），是谐振式传感器中使用较为广泛的一种谐振子结构。根据传感器检测量或使用场合的不同，依据约束方式，常用的梁式谐振子有双端固定式和悬臂式（单端固定式）等。如图3.20所示，用于扫描原子力显微镜（Atomic Force Microscope，AFM）中的测量探针即为悬臂式谐振子。
图3.20 一种扫描原子力显微镜悬臂式探针
针对各种梁式谐振子，为了能发挥最佳作用，梁的结构一般设计较为复杂，受力情况也多种多样，采用理论分析和解析方法虽然能有效获得较为准确的结果，但是计算过程复杂，且因为过多的结构简化导致计算结果误差较大。有限元方法很好地解决了这一问题。下面以一种扫描原子力显微镜谐振式悬臂梁的设计过程来介绍梁式谐振子的有限元分析过程。
（1）扫描探针结构设计
扫描探针三维结构简图如图3.21所示，包括探针、悬臂梁以及悬臂梁根部用于检测的压电电阻。图3.22为悬臂梁部分平面结构图。测量时，悬臂梁在探针针尖和待测试件间的原子力作用下发生弯曲变形，检测电路根据悬臂梁根部上方压电电阻的变化来描绘试件三维形貌。
图3.21 扫描探针三维结构示意图
图3.22 探针悬臂梁平面结构图
原子力显微镜工作时（接触模式扫描）悬臂梁发生弯曲变形，其力学模型可简化为如图3.23所示的钢架结构。图3.23中Fy为探针工作时针尖和试件之间的原子力，Fx和Fz为探针横向移动时的摩擦力。
图3.23 扫描探针的力学模型(www.xing528.com)
（2）探针的模态和横向刚度有限元仿真分析
建立如图3.24所示的有限元分析模型（探针长度50μm），其边界条件为左端固定，右端自由。在工况1中分析结构的固有振动模态，图3.25给出了其前六阶模态分析结果振型图。
图3.24 悬臂梁有限元模型
其各阶振型的固有频率见表3.1。探针的工作模态是一阶弯曲变形模态[图3.25（a）]，由上述结果可以看出一阶模态距各高阶模态频率较远，故各高阶模态对探针的工作模态影响较小。
表3.1 两种模型的前六阶振型固有频率
图3.25 悬臂梁前六阶振型图
当探针长度为5μm时，其前六阶模态的频率见表3.1。对比表3.1数据可以看出，探针长度对悬臂梁的动力学性能影响较小，一阶模态（工作模态）的频率变化率仅为6.8%。
50μm长探针悬臂梁有限元模型的载荷工况2和载荷工况3分别分析了在原子力（图3.23中的Fy）和横向摩擦力（图3.23中的Fz）作用下悬臂梁的变形情况，结果如图3.26所示。由分析的变形结果可以计算出横向弯曲刚度为2.86 N/m；在横向摩擦力作用时，悬臂梁发生扭转变形，其刚度大小为94 N/m；横向弯曲刚度的32.8倍。用同样的方法分析了探针长度为5μm时的悬臂梁模型，悬臂梁的横向弯曲刚度也为2.86 N/m；而扭转刚度为813 N/m。结果表明：探针长度对悬臂梁横向刚度没有影响，因此AFM的检测分辨率不受探针长度的影响；探针长度对悬臂梁的扭转刚度有较大影响，故在AFM做快速扫描时（横向摩擦力较大时）测量误差较大，要进行补偿。
图3.26 含50μm探针悬臂梁静态分析结果
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