圆形薄板自由振动分析

对于圆形薄板的自由振动，也可用与上节相同的方法进行分析。在极坐标中，薄板的自由振动的微分方程是

现把微分方程的解取为无数多简谐振动的叠加

为了求出各种振形下的振形函数Wk，以及与之相应的频率ωk，取

也可以改写为

将式（3.72）代入自由振动微分方程（3.70）得到振形微分方程，可表示为

也可以改写为

或

或

取振形函数为如下的形式

取振形函数为如下的形式

其中，n=0，1，2，…。相应于n=0，振形是轴对称的。相应于n=1，2，圆板的环向围线将分别具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根或两根径向节线，依此类推。将式（3.77）代入式（3.76）得常微分方程，即

其中，n=0，1，2，…。相应于n=0，振形是轴对称的。相应于n=1，2，圆板的环向围线将分别具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根或两根径向节线，依此类推。将式（3.77）代入式（3.76）得常微分方程，即

或引入无因次的变量x=γr，得

或引入无因次的变量x=γr，得

微分方程式（3.79）的解可以表示为(www.xing528.com)

微分方程式（3.79）的解可以表示为

式中，Jn（x）及Nn（x）分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数；

In（x）及kn（x）分别为虚宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修正贝塞尔函数）。

将式（3.80）代入式（3.77），即得振形函数为

式中，Jn（x）及Nn（x）分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数；

In（x）及kn（x）分别为虚宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修正贝塞尔函数）。

将式（3.80）代入式（3.77），即得振形函数为

如果薄板具有圆孔，则在外边界及孔边各有两个边界条件。利用这四个边界条件，可得出一组Cl至C4四个齐次线性方程。令这一方程组的系数行列式等于零，可以得出计算频率的方程，从而求得各阶自然频率。

如果薄板无孔，则在薄板的中心（x=γr=0），Nn（x）及Kn（x）成为无限大。为了使W不致成为无限大，需在式中取C2=0，C4=0。于是式（3.81）简化为

如果薄板具有圆孔，则在外边界及孔边各有两个边界条件。利用这四个边界条件，可得出一组Cl至C4四个齐次线性方程。令这一方程组的系数行列式等于零，可以得出计算频率的方程，从而求得各阶自然频率。

如果薄板无孔，则在薄板的中心（x=γr=0），Nn（x）及Kn（x）成为无限大。为了使W不致成为无限大，需在式中取C2=0，C4=0。于是式（3.81）简化为

由板边的两个边界条件，可以得出Cl及C3的一组两个齐次线性方程，令方程组的系数行列式等于零，也就得出计算自然频率的方程。

由板边的两个边界条件，可以得出Cl及C3的一组两个齐次线性方程，令方程组的系数行列式等于零，也就得出计算自然频率的方程。