李雅普诺夫稳定性及其函数特性分析

李雅普诺夫直接法指出对于状态量为x的动态系统，若能定义一个正定标量函数V（x）［即V（x），且V（x）对时间的导数（x）负定　［即x≠0＜0］，则系统受扰后最终将趋于平衡点原点（x＝0），就称为李雅普诺夫函数［1］。

对于前面所述自治系统，若f（x）＝0，相应的李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性和大范围渐近稳定性定理为：

（1）稳定性定理。若在原点附近存在一个标量函数V（x）＞0，且在这个区域内（x）≤0，则系统在原点是稳定的。

（2）渐近稳定性定理。若在原点附近存在一个标量函数V（x）＞0，且在这个区域内（x）＜0，则系统在原点是渐近稳定的。

（3）大范围渐近稳定性定理。若系统存在一个标量函数V（x），有V（x）正定，（x）负定，而且当时，，即V（x）随‖x‖增加是无界的，则此系统原点是大范围渐近稳定的。其中最后一个条件保证了在整个状态空间中对于任意常值C＞0，V（x）＝C为在状态空间中的封闭曲面。(www.xing528.com)

大范围渐近稳定定理的另一种形式是将（x）负定条件改用如下条件表达：（x）≤0，且除了x＝0外，（x）在t≥0的任何解均不为零，或者说如果除原点外还存在（x）＝0，则这些点不构成系统的解。这一形式的大范围渐近稳定定理实用中较方便。

（4）渐近稳定域定理。设Ω为一有界的区域，且Ω域内有V（x）＞0，（x）＜0，则系统在原点是渐近稳定的，由Ω域内出发的一切运动均在时收敛于原点。该定理中＜0的条件也和大范围渐近稳定定理相似。

由上述定理可知，直接法不必求出系统微分方程的数值解，而可直接利用V函数及其时间导数的性质来判别系统的稳定性。由于没有构造李雅普诺夫函数的一般方法，极大地限制了该方法的实用化。实际上任一标量函数V（x），只要满足上述假定条件，都可以作为李雅普诺夫函数。采用不同的V函数，会对渐近稳定域产生不同的估计，难以获得最大的或者说准确的渐近稳定域。李雅普诺夫直接法给出了系统稳定的充分条件，而不是必要条件，因此其稳定分析结果以及渐近稳定域计算结果往往偏保守。