微分方程的数值算法优化方法

本小节以一阶常微分方程为例，简单介绍常微分方程的数值解法。初值问题的一般形式是

若函数f（x，y）连续且y满足Lipschitz条件，则上述方程的解必定存在且唯一［3］。

求常微分方程的数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

（1）用差商近似导数。

若用向前差商代替y′（xn）代入式（3－1）中的微分方程，则得

化简得

y（xn＋1）≈y（xn）＋hf［xn，y（xn）］

如果用y（xn）的近似值yn代入上式右端，所得结果作为y（xn＋1）的近似值，记为yn＋1，则有

这样，式（3－1）的近似解可通过求解下述问题求得：

（2）用数值积分方法。

将式（3－1）的解表示成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得

用yn＋1、yn代替y（xn＋1）、y（xn），对右端积分采用取左端点的矩形公式，即

则由式（3－4）可得

yn＋1－yn＝hf（xn，yn）

于是式（3－1）的近似解可由以下公式求出：

（3）用Taylor多项式近似。

将函数y（x）在xn处展开，取一次Taylor多项式近似，则得再将y（xn）的近似值yn代入上式右端，所得结果作为以y（xn＋1）的近似值yn＋1，得到离散化的计算公式

y（xn＋1）＝y（xn＋h）≈y（xn）＋hy′（xn）＝y（xn）＋hf［xn，y（xn）］(www.xing528.com)

yn＋1＝yn＋hf（xn，yn）

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。

1.欧拉法

欧拉法就是用差分方程初值问题

的解来近似微分方程初值式（3－1）的解，即由式（3－2）依次算出y（xn）的近似值yn（n＝1，2…）。

2.向后欧拉法

如果在离散微分方程时，用向后差商近似导数，即

则得计算公式这就是向后欧拉法。

向后欧拉法与欧拉法形式上相似，但计算时却复杂得多。欧拉公式是显式的，可以直接计算。向后欧拉公式的右端含有yn＋1，不能直接计算出yn＋1，称为隐式公式，需要迭代求解。

3.梯形公式

利用数值积分方法求解离散微分方程时，如果用梯形公式计算式（3－4）中右端积分，即

并用yn、yn＋1代替y（xn）、y（xn＋1），得求解初值式　　（3－1）的梯形公式

梯形公式也是隐式公式，需用迭代法求解，迭代格式为

4.改进欧拉法

先用欧拉公式求yn＋1的一个初步近似值，称为预测值，然后用梯形公式校正求得近似值yn＋1，即

该方法为显式单步法。为便于编制程序上机，式（3－9）常改写成

除上述几种方法外，还有其他一些常用的数值求解方法，如三阶龙格－库塔法、四阶龙格－库塔法、变步长龙格－库塔法和多种线性多步法，请读者参考其他资料。