声学模型：噪声源与目标区域的声传递模型优化

噪声源、目标区域和控制系统空间几何关系如图1所示。为表述方便，定义噪声空间为半径的r1球形空间，其中包括多个形状各异的辐射声源。分布式噪声源用密度分布函数ρ（r，k），r＜r1建模描述，其中k表示波数。以噪声空间的中心为坐标原点建立笛卡尔坐标系，z轴指向目标区域。同样假设目标区域为球形，半径为r2。噪声源与目标区域之间的距离为Rt。为方便起见，在下文中，小写字母r表示尺寸半径，大写字母R表示间隔距离。本文中认为作为目标区域的居民楼、办公室等距离噪声源远，即Rt很大，相比之下r1和r2都可以忽略不计。有源噪声控制系统该传声器阵列和次级声源阵列组成，控制系统的中心位于z轴上，尺寸半径为rc，距噪声源Rc，本文认为有源控制系统距离噪声源同样很远。

图1　噪声源、目标区域和控制系统的空间几何关系

根据自由空间的格林函数，忽略掉时间项因子e-jωt，在噪声空间之外，由复杂噪声源辐射的声场可以表述为［17］

因声源满足即索末菲辐射条件，故当R足够大满足远场条件时，取一阶近似(www.xing528.com)

其中α是R和r的夹角。因此在远场条件下，得到辐射声场可以近似为

其中D（α）表示噪声源辐射声场在远场的指向性因子。将Rc和Rt带入公式（3），可以分别得到控制系统和目标区域处的辐射声场。虽然实际中D（α）难以被完整测量，但是当各尺寸远小于距离，即满足近轴条件时，在目标方向上D（α）可由空间频谱替代，即

公式（4）即为远场近轴条件下的声场的弗朗霍夫近似形式。因此，当距离足够远，对于复杂声源的辐射声场将退化为球面波甚至球面的形式。在声传播路径中测量其空间频谱，能获得在该方向上声场的全部信息。