基于特殊位置磁化曲线的磁链分区解析拟合技术

θ_u =0（定子凸极与转子凹槽中心重合位置）、θ_a=π/N_r（定、转子凸极中心完全对齐位置）、θ₂（转子极前沿与定子极后沿相遇位置）、θ_hr（转子极前沿与定子极中心线重合位置）这四个特殊转子位置处的磁化曲线是SR电动机性能准确分析与计算的重要基础，可通过有限元计算^{[11，14，15，38]}或解析计算^{[14，20，31]}准确获得。图2-22为采用分段磁路解析计算方法^[14]获得的样机1在四个特殊位置处的磁化曲线。

T.J.E.Miller提出的快速CAD方法^[187]以θ_u、θ_a位置的磁化曲线为非线性磁链分区解析建模的基础。图2-23为某四相（8/6极）7.5kW样机在θ_u、θ_a位置的磁化曲线。

图2-22 样机1在四个特殊位置处的磁化曲线

图2-23 θ_u、θ_a位置的磁化曲线

针对已获知的θ_u、θ_a位置的磁化曲线，参考文献[187]提出的非线性磁链分区解析建模方法如下：

θ_u位置处磁路可视为线性，其磁化曲线用直线模拟，即

Ψ_u=L_ui （2-55）

式中，L_u为θ_u位置处相电感。

θ_a位置的磁化曲线以“膝点”S（一般S点处定子极平均磁感应强度B_ps=1.2T）为界分2段建模。当i≤i_S（i_S为与S点对应的电流）时，磁路近似线性，磁化曲线以直线模拟，即

Ψ_a=L_a0ii≤i_S （2-56）

式中，L_a0为θ_a位置处不饱和相电感，L_a0=Ψ_S/i_S。而当i＞i_S时，磁路饱和，磁化曲线则以抛物线模拟，即

式中，a=（Ψ_M-Ψ_S）2/{4[i_M-i_S-（Ψ_M-Ψ_S）/L_a0]}；i_S0=i_S-a/L²_a0；Ψ_S0=Ψ_S-2a/L_a0。

以上应用θ_u、θ_a位置处的5个数据L_u、（Ψ_S，i_S）、（Ψ_M，i_M）建立了这两个特殊位置处磁链的解析式，在此基础上，参考文献[187]进一步对中间位置的磁化曲线进行了分区解析模拟。

图2-24 一定电流下Ψ-θ曲线分区解析模拟

如图2-24所示，在Ⅱ区（θ₂≤θ≤θ_hr），磁链采用直线拟合，即

Ψ=Ψ_u+k_a（θ-θ₀） （2-58）

式中

而在Ⅰ区（θ_u≤θ≤θ₂），磁化曲线采用Fröhlich形式函数拟合，即

式中

在Ⅲ区（θ_hr≤θ≤θ_a），磁化曲线仍采用Fröhlich形式函数拟合，即(www.xing528.com)

式中

在建立非线性磁链分区解析模型的基础上，可据式（2-6）导出SR电动机电磁转矩的分区解析式^[187]。

上述解析建模方法有效协调了SR电动机性能分析的准确性和快速性的矛盾，已被应用于SRD Ltd.的SR电动机CAD中^[2，187]。该方法虽然具有建模计算简单（仅需θ_u、θ_a位置处的5个数据L_u、（Ψ_S，i_s）、（Ψ_M，i_M））的优点，但引入了经验公式式（2-60），从而限制了应用范围，另外，对Ⅱ区（θ₂≤θ≤θ_hr）这一机电能量转换主要区域的磁化曲线模拟亦较为粗糙，故降低了电磁转矩计算的精度。

有鉴于此，参考文献[14，31]在参考文献[187]的基础上，提出以θ_u、θ_a、θ₂、θ_hr四个特殊位置处的磁化曲线为非线性磁链分区解析建模的基础，其中，θ_u、θ_a处的磁链模型分别与式（2-55）、式（2-56）和式（2-57）相同；θ₂处的磁化曲线仿照式（2-55）拟合为直线（斜率为θ₂处的相电感）；θ_hr处的不饱和磁化曲线仿照式（2-56）拟合为直线（斜率为θ_hr处的不饱和相电感），θ_hr处的饱和磁化曲线仿照式（2-57）拟合为抛物线，只是该抛物线的顶点坐标由θ_hr处磁化曲线的“膝点”坐标决定^[14]。在此基础上，磁化曲线分区解析模型为^[14]

Ⅱ区（θ₂≤θ≤θ_hr）的磁链仍采用直线拟合，即

Ψ=Ψ₂+k_a（θ-θ₂） （2-67）

式中

Ⅰ区（θ_u≤θ≤θ₂）的磁化曲线采用修改的Fröhlich形式函数拟合，即

式中

Ⅲ区（θ_hr≤θ≤θ_a）的磁化曲线仍采用修改的Fröhlich形式函数拟合，即

式中

基于样机1在四个特殊位置处的磁化曲线数据（见图2-22），应用磁链分区解析表达式（2-67）～式（2-72）计算得到了样机1在不同电流、不同位置下的磁化曲线族Ψ=f（i，θ）和相电感族L（θ，i），如图2-25和图2-26所示。这些为进行SR电动机性能分析和控制策略研究奠定了基础。观察图2-25b可见，Ⅰ、Ⅲ区的Ψ=f（i，θ）磁化曲线族分别向θ_u、θ_a位置的磁化曲线聚拢，而Ⅱ区的Ψ=f（i，θ）磁化曲线族的间隔与转子角度位置的变化基本一致，这表明Ⅰ、Ⅲ区的电感随转子位置变化较小（尤其是Ⅰ区的电感基本不变），Ⅱ区的相电感随转子位置变化较大，这一结论从图2-26中亦可得到，因此，Ⅱ区是产生电磁转矩的重要区域。

图2-25 样机1的非线性磁化曲线族Ψ=f（i，θ）

a）Ψ-θ-i形式（i从1A至12A，间隔1A） b）Ψ-i-θ形式（θ从0°至30°，间隔1°）

图2-26 样机1的非线性电感L（θ，i）

a）2维曲线族（i从1A至12A，间隔1A） b）3维分布图