受力分析和强度计算优化标题

时间：2023-06-22 理论教育版权反馈

【摘要】：所以接合面的挤压强度足够。螺栓的许用应力为由公式：可得螺栓根径为图1-21 例2题图求螺栓公称直径查表1-10普通螺纹基本牙型和基本尺寸，优先选用粗牙螺纹，即表中螺距的第一列数据。而改选为表1-72全螺纹六角头螺栓，则长度范围30～60mm，选择30mm即可：螺栓GB/T 5781 M16×30。

受力分析和强度计算优化标题

【例1】如图1-19所示，板与立柱的螺栓连接，已知轴向拉力H=20000N，螺栓材料为合金钢，性能等级为5.8级。接合面许用挤压应力[σ_P]=2～4MPa，相对刚度系数c₁/（c₁+c₂）=0.3，圆环直径D=200mm，螺栓个数为4，试求：

①试设计螺钉直径。

②校核接合面的挤压强度（取残余预紧力与工作拉力的关系为：F″=0.6F）。

③如果板厚为10mm，试选择螺栓。

解：如图1-20所示，外载荷已经作用在螺栓组的几何形心上，螺栓组的受力属于只受轴向拉力；对于单个螺栓属于既受预紧力、又受工作拉力的紧连接螺栓，应求出总拉力，再求螺栓根径d₁。

图1-19 例1题图

图1-20 例1题图解

1.设计螺栓直径

（1）求螺栓的总拉力F₀

螺栓的工作拉力为

根据已知条件，取残余预紧力为：F″=0.6F，所以螺栓的总拉力F₀为

（2）计算螺栓根径d₁

查表1-2，屈服强度有两个值：σ_s=400MPa和σ_0.2=420MPa，根据表注②：性能等级为3.6～6.8级时为σ_s；性能等级为8.8～12.9级时为σ_0.2。本题螺栓性能等级为5.8级，因此取σ_s=400MPa。

查表1-6受拉螺栓的许用应力：由题目已知螺栓材料为合金钢，按一般不控制预紧力考虑；因为安全系数与螺栓直径有关，因此必须假设螺栓直径。本题假设螺栓直径在M6～M16之间（也可假设其他范围，按不同的假设得出不同的安全系数，从而求出许用应力，再求出螺栓直径，直到假设直径与计算出的直径相近为止，此过程也称“试算法”），则安全系数为5～5.7之间，本题取5。螺栓的许用应力为

由公式：可得螺栓根径为

（3）求螺栓公称直径

查表1-10普通螺纹基本牙型和基本尺寸，优先选用粗牙螺纹，即表中螺距的第一列数据。接近的是d₁=13.376mm，即M15以及d₁=13.835mm的M16；但是查表1-11直径与螺距系列：M15为第三系列，查表1-12普通螺纹优选系列，根据优先选用第一系列螺纹而不是第三系列，因此选用公称直径16mm的粗牙螺纹，即M16 GB/T 196。

2.校核接合面的挤压强度

由题目已知条件可求出螺栓的残余预紧力为

接合面的总压力为

接合面的挤压强度为：σ_P≤[σ]_P，即

所以接合面的挤压强度足够。

3.选择螺栓

选择螺栓包括直径和长度，直径通常由强度求出，而长度由结构定。因为题目给出是板与立柱的螺栓连接，螺栓不能穿透，因此只能设计成螺钉连接（一块板很厚），查标准时按螺栓查，用到此处就称为螺钉。

选用最常用的粗牙六角头螺栓，根据公称直径16mm、板厚为10mm，查表1-72粗牙六角头螺栓C级：长度范围65～160mm，如果取最短长度为65mm，则螺纹拧入深度太深（10mm厚的板开通孔，则螺纹拧入立柱为55mm）；况且查表1-72粗牙，该螺栓的螺纹段长只有38mm，光杆部分为（65-38）mm=27mm，无法拧入立柱的螺纹，因此不能选用该螺栓。

而改选为表1-72全螺纹六角头螺栓，则长度范围30～60mm，选择30mm即可：螺栓GB/T 5781 M16×30。当然，也可采用A级或B级螺栓，A级制造最精确，B级稍差，C级制造最不精确，用于一般连接。

公差部分可查表1-14普通螺纹公差，此处略。

【例2】如图1-21所示，电动机座螺栓组连接，由电动机驱动V带传动，压轴力为Q，此力与水平面夹角为α，布置如图1-21所示。设Q作用于带轮宽度的中点，求此螺栓组连接所受的载荷。

解：将外力首先分解为水平分力F_X及垂直分力F_Y，即

如图1-22所示，再将此二力分别移到螺栓组接缝面的几何形心O，F_X移到螺栓组接缝面的几何形心为横向力F_X、转矩T（F_Xa）和翻倒力矩M_FX（F_Xh）；F_Y移到螺栓组接缝面的几何形心为轴向力F_Y和翻倒力矩M。

图1-21 例2题图

图1-22 例2题图解

在横向力F_X作用下，每个螺栓受到向右方向的、大小相同的横向力作用，即

在转矩T作用下，每个螺栓受到与其回转半径相垂直的横向力作用，大小为

在翻倒力矩M_FX作用下，螺栓1和4所受的拉力为

在轴向力F_Y作用下，每个螺栓受到大小相同的轴向（工作）拉力F₁作用，即

在翻倒力矩M作用下螺栓所受的拉力F₂为

图1-23 例3题图

在翻倒力矩M作用下，螺栓受轴向工作拉力，翻倒轴线为A—A，螺栓1和2所受的拉力由原来的预紧力F′增大到总拉力F₀；螺栓3和4所受的工作拉力为负，因此预紧力减小。

综上分析：螺栓1所受的总的轴向（工作）拉力最大，即

进一步分析，可以将每个螺栓所受的由横向力F_X与转矩T所产生的横向力几何合成，此处略。

【例3】如图1-23所示，为某受轴向工作载荷的紧螺栓连接预紧时的受力—变形图，试分析：

1）当工作载荷为F=2000N时，求螺栓所受总拉力F₀及被连接件间残余预紧力F″，并在图上表示出来。

2）求出螺栓的直径，已知螺栓材料为碳素钢，不控制预紧力。

3）若连接件间不出现缝隙，最大工作载荷F_max是多少？

解：

1.螺栓的刚度：

c₁=tan30°=0.57735，被连接件刚度：c₂=tan45°=1，由图1-23知：螺栓的预紧力为：F′=4000N，螺栓所受的总拉力为

被连接件间的残余预紧力为

F₀和F″如图1-24所示。

2.求螺栓的直径

查表1-6受拉螺栓的许用应力，按已知螺栓材料为碳素钢，不控制预紧力，许用应力与安全系数有关，而安全系数又与螺栓的直径有关，螺栓的直径越大，安全系数越小；而螺栓的直径越小，越容易被拧断，则应取大的安全系数。本题要求螺栓的直径，因此必须先假设螺栓的直径才能求出安全系数。如何假设螺栓的直径，没有好的办法，只好试一试。本题假设螺栓的直径在M6～M16之间，表1-6列出安全系数在4～5之间，本例取安全系数为4.5。

假设螺栓的强度级别为5.8级，查表1-2：屈服强度σ_s=400MPa，则许用应力为9MPa；因为螺栓是既受预紧力、又受工作拉力的紧连接螺栓，因此螺栓不被拉断的强度条件为：σ所以可求出螺栓的根径，即

因为螺栓的外径是公称直径，因此查表1-10，取M12的螺栓，根径为10.106mm，注意：表中M12的螺栓有几种螺距，最大螺距（即第1行）是粗牙螺纹，其余是细牙螺纹，一般工程没有特殊要求都选用粗牙螺纹；不能取M10的螺栓，因为根径为8.376mm，不满足强度要求。因此取M12。

图1-24 例3题图解

3.被连接件不出现缝隙，需满足如下条件：

因此螺栓的最大工作载荷F_max，即

【例4】如图1-25所示，有一个液压缸（但图中未表示活塞、支座、进油、出油接头等零件），液压缸的内径D=100mm，壁厚δ=10mm，L=300mm，t=20mm，端盖、缸体、螺栓都用钢制成。液压缸工作压力在0～4MPa之间变化，用6个M12螺栓连接，螺栓的强度级别为6.8级，拧紧到屈服强度的50%，试求：

1）假设两个端盖可作为刚体考虑，求螺栓和液压缸的刚度。

2）求螺栓的平均应力和应力幅各为多少。

3）试校核螺栓的强度。

解：本题目属于难度较大的综合类题目，需要对螺栓的综合受力变形图、物理知识及材料力学中关于刚度等概念有较深入了解，并能灵活运用，方可求解本题目。

图1-25 例4题图

本题目螺栓的受力为属于既受预紧力、又受工作拉力的紧螺栓连接，因此第三问“试校核螺栓的强度”应根据相应的公式进行计算，并且螺栓受变载荷作用，因此除了满足静力强度外，还应该验算应力幅。

1.求螺栓及液压缸的刚度

刚度即产生单位变形量所需的力，为此，可求出预紧力F′及在该预紧力作用下螺栓及液压缸的伸长量，从而可求出刚度。

求预紧力F′：因题目给出螺栓强度级别为6.8级，查表1-2，可得σ_s=480MPa；又由题目已给条件为：拧紧到屈服强度的50%，由此求出预紧力F′，即

查表1-10普通螺纹基本尺寸，M12粗牙螺纹的根径（小径）为d₁=10.106mm，查表时最大螺距（即第一组螺距）是粗牙螺纹，其余是细牙螺纹，一般工程没有特殊要求都选用粗牙螺纹，从而可求出变形量。

在F′作用下螺栓的变形量，即

缸体在F′作用下的变形量，即

因此得出螺栓的刚度c₁及缸体的刚度c₂分别为

2.求螺栓的平均应力σ_m和应力幅σ_a

螺栓安装时受预紧力F′，工作时又受工作载荷F，因此螺栓工作时受的最大拉力为F₀，螺栓工作时的拉力是在F′～F₀之间变化，因此可求出F₀，即

螺栓在总拉力F₀及预紧力F′作用下的最大、最小应力分别为

3.校核螺栓强度

螺栓受变载作用，应分别校核静强度及疲劳强度。

螺栓的静强度校核：计算，需先求[σ]，查表1-6受拉螺栓连接的许用应力，按控制预紧力考虑，取安全系数[S_s]=1.5，则许用应力为

因此螺栓的总应力为

所以静力强度满足。

螺栓的疲劳强度校核：即需校核应力幅σ_a≤[σ_a]，首先必须求出许用应力幅[σ_a]：查表1-6受拉螺栓连接的许用应力，可求得许用应力幅[σ_a]为

从表1-6可查得有关系数：尺寸系数ε=1（因为螺纹规格为M12）；螺栓制造工艺系数K_m=1（采用车制螺纹）；螺纹的应力集中系数Kσ=3.9（因为已知螺栓强度级别为6.8级，查表1-2螺栓、螺钉、螺柱的性能等级，可得σ_b=600MPa；各圈螺纹牙的受力分布不均系数K_u=1.5（因为螺母是受拉、压）；对称循环疲劳极限为σ_-1=0.41σ_b=0.41×600MPa=246MPa；取疲劳安全系数[S]_a=3，代入上式得

而应力幅σ_a=0.65MPa＜＜[σ_a]=31.53MPa，因此疲劳强度足够。

【例5】如图1-26所示为吊车跑道托架，用螺栓组装在钢质横梁上，如螺栓材料的许用应力[σ]=70MPa，试计算螺栓的直径（结构尺寸见图1-26）。

解：

1.螺栓组的受力分析

如图1-27所示，将外载荷移到螺栓组的几何形心O，是一个轴向力P和翻倒力矩M。

图1-26 例5题图

图1-27 例5题图解

2.单个螺栓的受力分析

此题为普通螺栓连接，属于既受预紧力、又受工作拉力的紧螺栓连接，工作拉力由两部分引起的：轴向力P和翻倒力矩M，可由下式计算：

3.求预紧力F′，底板应满足右侧不离缝，即压应力大于零，即

因此可求出预紧力F′：F′≥7200N（此处忽略底板接合面凹陷处的影响）。

求螺栓总拉力：

假设采用金属垫，相对刚度为：，则螺栓总拉力为

4.设计螺栓直径

由公式可得

查表1-10普通螺纹基本尺寸，优先选用第一系列螺纹，接近的是：公称直径20粗牙螺纹的根径（小径）为d₁=17.294mm，因此选用：M20 GB/T 196—2003。或选用第二系列螺纹，接近的是：M18的普通粗牙螺纹（根径d₁=15.294mm）。

【例6】如图1-28所示：底板螺栓组连接受外力R的作用。外力R作用在包含x轴并垂直于底板接合面的平面内，外力R与x轴的夹角为θ，其余尺寸如图1-28所示。试分析底板螺栓组的受力情况，并判断哪个螺栓受力最大？保证螺栓连接安全工作的必要条件有哪些？

解：

1.分析底板螺栓组的受力情况

将外载荷R分解为水平力H和垂直力p；并将其移到螺栓组的几何形心O，是横向力H、轴向力p、翻倒力矩M_p和M_H，如图1-29所示。

图1-28 例6题图

图1-29 例6题图解

在轴向力p作用下，每个螺栓受相同的轴向拉力：

总的翻倒力矩应为M_P和M_H的几何和：M=M_H-M_p。

如果M_H＞M_p，则左边的螺栓受的轴向拉力比右边螺栓受的轴向拉力大，又因为螺栓1、8到翻倒轴线的垂直距离大，因此受力最大；如果M_H＜M_p，则右边的螺栓受的轴向拉力比左边螺栓受的轴向拉力大，又因为螺栓4、5到翻倒轴线的垂直距离大，因此受力最大。

2.保证螺栓连接安全工作的必要条件有：

螺栓不被拉断；

底板左边不离缝（当M_H＞M_p时）或不压溃（当M_H＜M_p时）；

底板右边不离缝（当M_H＜M_p时）或不压溃（当M_H＞M_p时）；(www.xing528.com)

在横向力作用下，接缝面不应产生相对滑动，即接缝面间的摩擦力大于或等于横向力：（8×F′-p）×μs≥H。

【例7】用以传递工作转矩的刚性联轴器如图1-30a所示，采用的螺栓组连接。6个M16的螺栓均匀地布置在D=φ200mm的圆周上，所传递的工作转矩T=450N·m，试验算此螺栓组连接在下列情况下是否安全可靠？

1）用普通螺栓M16，被连接件为钻孔，靠摩擦传力，连接表面间的摩擦因数μs=0.15，要求可靠性系数K_f=1.2，螺栓材料的许用应力[σ]=57.5MPa；

2）用M16铰制孔光制螺栓，被连接件为铰孔，靠剪切传力，已知螺栓材料的许用切应力[τ]=92MPa。

图1-30 例7题图

解：如图1-30a所示：对于螺栓组只受转矩作用；对于单个螺栓：受横向力作用。

1.用普通螺栓（即受拉螺栓）连接

该螺栓组属于只受预紧力F′的紧连接，转矩被接合面的摩擦力矩平衡，从而计算出单个螺栓所受的预紧力F′，即

校核螺栓强度：

根据已知条件采用M16普通螺栓，查表1-10普通螺纹基本尺寸，其根径为d₁=13.835mm，代入只受预紧力的紧螺栓连接公式校核螺栓强度，即

所以用M16的普通螺栓不会被拉断及扭断，因此安全。

2.用M16的铰制孔光制螺栓

查表1-77六角头铰制孔光制螺栓，M16铰制孔光制螺栓的光杆部分的直径为17mm，螺栓受的横向力直接作用到螺栓的光杆部分，每个螺栓受的剪切力为

螺栓受剪切，校核螺栓强度，即

所以用铰制孔光制螺栓（光杆直径d=17mm）非常安全。

【例8】一个蜗轮轮缘和轮心用4个M6×10的螺钉连接，如图1-31所示，螺钉的许用切应力[τ]=50MPa，许用拉应力[σ]=30MPa，许用挤压应力[σ_p1]=160MPa，蜗轮轮缘材料的许用挤压应力[σ_p2]=72MPa，蜗轮轮毂材料的许用挤压应力[σ_p3]=50MPa，试问蜗轮允许传递多大的转矩？

解：

1.按螺钉的剪切失效求允许传递的转矩

查表1-10普通螺纹基本尺寸得M6螺纹的根径为d_l=4.917mm，代入螺钉的剪切强度公式，即

解得：T=983400N·mm

2.按压溃失效求允许传递的转矩

因为蜗轮轮毂的许用挤压应力最低，强度最弱，因此计算轮毂压应力为

解得：T=491700N·mm，比按螺钉剪切失效求得的转矩小得多，因此蜗轮允许传递的转矩应为T=491800N·mm。

【例9】一个夹紧螺栓连接如图1-32所示，若轴径D=40mm，传递的转矩T=370N·m，试选螺栓直径。已知摩擦因数为μ=0.15，可靠性系数K_f=1.2，螺栓材料的强度级别为6.8级。

解：如图1-33所示：螺栓数目为2，拧紧螺母时，螺栓受拉，预紧力为F′，被连接件产生的正压力为N，外力的转矩被摩擦力矩平衡，螺栓属于只受预紧力的紧螺栓连接。螺栓的直径由预紧力确定，而预紧力可由接合面上的摩擦力矩与转矩的静力平衡条件求得。

图1-31 例8题图

图1-32 例9题图

图1-33 例9题图解

假设夹紧时轮毂与轴只在上下两点接触（但是实际上是两个小区域），其夹紧力均为N，则摩擦力μ×F形成的力偶矩与工作转矩平衡，即

NμD=T

以轮毂的上半部为平衡对象，在垂直方向上两个螺栓的预紧力F′应当与N平衡：2F′=N，因此得出每个螺栓的预紧力F′为

考虑可靠性系数K_f=1.2，摩擦因数为μ=0.15，代入上式可得

因题目给出螺栓强度级别为6.8级，查表1-2螺栓（螺钉、螺柱）的力学性能等级，可得屈服强度为：σ_s=480MPa；查表1-6受拉螺栓连接的许用应力，又因为考虑不控制预紧力，假设螺栓的直径在M16～M30之间，安全系数的范围为2.5～4，本题先取安全系数为3进行试算，许用应力为

代入公式可求出螺栓的根径，即

查表1-10普通螺纹基本尺寸，优先选用第一系列螺纹，接近的是：公称直径24mm（根径d₁=20.752mm），因此选用M24的普通粗牙螺纹。

【例10】有一个圆盘锯如图1-34所示，锯片直径D=500mm，用M20的螺母将其夹紧在压板中间。压板和锯片间的摩擦因数为μ_s=0.15，压板的平均直径D₀=200mm，螺纹轴材料的许用拉应力[σ]=144MPa，若切削力F=1280N，问螺栓强度是否足够？（可靠性系数K_f=1.2）。

图1-34 例10题图

解：

圆盘锯所受的转矩被接合面的摩擦力平衡，而产生摩擦力的正压力是由拧紧螺栓时，螺栓受拉（预紧力）、被连接件受压而产生；本题有两个接合面，螺栓的个数z=1，因此可以求解。

1.求螺栓的预紧力F′

圆盘锯所受的转矩被接合面的摩擦力平衡，因此可以列出下式：

式中：

代入上式得

2.校核螺栓强度

根据题目给出采用M20的螺母，因此查表1-10普通螺纹基本尺寸，查得螺栓的螺纹根径d_l=17.294mm（按普通粗牙螺纹查）。

因为螺栓只受预紧力作用，代入公式进行强度计算，即

因此采用M20的螺母螺栓强度足够。

【例11】如图1-35所示，轴承盖用4个螺钉固定于铸铁箱体上，已知作用于轴承盖上的力F_Q=10.4kN，螺钉材料级别为4.6级，取剩余预紧力F″为工作拉力的0.4倍，不控制预紧力，至少应取多大公称直径的螺栓合适？

解：

1.求许用拉应力

因题目给出螺钉材料级别为4.6级，查表1-2螺栓（螺钉、螺柱）的力学性能等级，可得屈服强度为：σ_s=240MPa；查表1-6受拉螺栓连接的许用应力，又因为考虑不控制预紧力，假设螺栓的直径在M6～M16之间，碳素钢安全系数的范围为4～5，本题拟取安全系数为4进行计算，许用应力为

2.求每个螺钉的工作载荷

因题目给出4个螺钉，z=4，求每个螺钉的工作载荷为

3.求残余预紧力F″

因题目给出残余预紧力F″为工作拉力的0.4倍，即F″=0.4F=0.4×2600N=1040N

4.求螺钉中总拉力F₀=F+F″=（2600+1040）N=3640N

5.求螺栓根径（小径）

6.取螺栓的公称直径

根据计算出的螺栓根径10.021mm，查表1-10普通螺纹基本尺寸，接近的并比该值稍大一点的螺栓根径为d₁=10.106mm（按普通粗牙螺纹查），因此取螺栓的公称直径为M12合适。

图1-35 例11题图

【例12】用于拧紧M24的普通六角头螺栓的接长扳手示意图如图1-36所示，该扳手由l、2两个零件组成，皆用45钢制造，并用螺栓连接，螺栓的强度级别为4.6级。使用此扳手时，作用在扳手一端的拧紧力P=200N，1、2两个零件之间的摩擦因数μ_s=0.15。试求下列问题：

1）按六角头普通螺栓连接，试求其公称直径。

2）如果改用铰制孔用螺栓连接，试计算所需螺栓的公称直径。

3）分析此扳手结构方案有什么缺点，提出改进意见。

图1-36 例12题图

解：

1.求六角头普通螺栓连接所需的直径

（1）求受力最大的螺栓所受的横向力

如图1-37所示：将外力移到螺栓组的几何形心O，是一个横向力F_S和转矩T。由横向力F_S作用到螺栓A、B上的力大小相同、方向向下：

由转矩T作用到螺栓A、B上产生的横向力大小相同，即

其方向对于螺栓A：向下；对于螺栓B：向上。两个横向力矢量相加，螺栓B所受的横向力最大，其值为

F_R=F_sB=F_sP+F_sT=（100+1700）N=1800N

图1-37 例12题图解

（2）求螺栓所需的预紧力F′

横向力被接缝面之间的摩擦力平衡，即

F′zμ_sm≥K_fFR

式中：z=1，m=1，F_R是一个螺栓所受的最大横向力，因此

（3）求螺栓根径

因为题目给出已知条件：螺栓的强度级别为4.6级，查表1-2螺栓（螺钉、螺柱）的力学性能等级，可得屈服强度为：σ_s=240MPa；查表1-6受拉螺栓连接的许用应力，又因为考虑不控制预紧力，假设螺栓的直径在M16～M30之间，碳素钢安全系数的范围为2.5～4，本题拟取安全系数为3进行计算，则许用应力为

由公式MPa可求出螺栓直径，即

（4）计算螺栓的公称直径

根据计算出的螺栓根径17.26mm，查表1-10普通螺纹基本尺寸，接近的并比该值稍大一点的螺栓根径为d₁=17.294mm（按普通粗牙螺纹查），因此取螺栓的公称直径为M20合适（正好是优先选用的第一系列螺纹）。又考虑两板厚度均为10mm，查表1-73粗牙全螺纹六角头螺栓，因此选最短的长度为40mm，即：M20×40。

2.改用铰制孔光制螺栓，求直径

（1）求许用切应力

查表1-7受剪螺栓连接的许用应力可得