R、L、C元件组合电路分析

前面已经分析了R、L、C组成的纯电路中电压和电流的关系。在实际工作中，经常会看到R、L、C元件的组合电路，当R、L、C元件串联组合时，该电路称为RLC串联交流电路；当R、L、C元件并联组合时，该电路称为RLC并联交流电路。针对此种组合电路，可以运用基尔霍夫定律进行分析，那么首先要了解正弦电路中基尔霍夫定律的相量形式。

（一）基尔霍夫定律的相量形式

基尔霍夫定律分电流和电压定律，即

在正弦交流电路中，各线路分支中流过的电流和各节点的电压都是同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量来表示，即得基尔霍夫定律的相量形式。

KCL的相量形式为

式（2-34）中，正负号由电流参考方向决定，流出任一结点的各支路电流相量的代数和等于流出该节点的各支路电流相量的代数和。

KVL的相量形式为

式中，电压的正负号由电压参考方向决定。在正弦电路中，沿任一回路绕行一周，各段电压相量的代数和等于零。

例2-14　如图2-16（a）、图2-16（b）所示电路中，已知电流表A1读数为20 A，A2、A3读数都是10 A，求电路中电流表A的读数。

解：设端电压

图2-16　例2-14图

例2-15　如图2-17（a）、图2-17（b）所示电路中，电压表V1、V2、V3的读数都是50 V，试分别求各电路中V表的读数。

图2-17　例2-15图

（二）RLC串联电路

1.RLC串联电路分析

在RLC串联电路中，具有三种不同元件，因此该电路包含了三个不同的电路参数。图2-18（a）、（b）分别为RLC串联交流电路和RLC串联电路的相量模型。

图2-18　RLC串联交流电路及相量模型

（1）电压与电流的关系。

根据基尔霍夫电压定律可以列出电压瞬时值表达式为

将上面式子用相量表示为

式（2-39）称为正弦交流电路相量形式的欧姆定律。式中，Z称为复阻抗或阻抗，它描述了RLC电路对电流的阻碍及使电流相对电压发生的相移。X=XL-XC称为电抗，表示电路中电感和电容对交流电流的阻碍作用的大小。

（2）RLC串联电路电压三角和阻抗三角。

根据式（2-39）可知，复阻抗Z是电压相量和电流相量之商。在RLC串联电路中，选定电流作为参考方向，令=I∠0°，根据各元件电压与电流的关系，可以得到RLC串联电路电压相量图，如图2-19（a）所示。

图2-19　RLC串联电路

如图2-19（a）所示，RLC串联电路各元件的电压相量相加与电源电压相量可以组成一个电压相量直角三角形，可以利用勾股定理求出电源电压的有效值为

式中，φ称为阻抗角，表示的是电压和电流的初相位之差。

（3）RLC串联电路的性质。

在RLC串联电路中，电路的性质一般由阻抗角来决定。

①XL＞XC。

如图2-20（a）所示，此时UL＞UC，阻抗角φ＞0，电压相量超前电流相量φ角，电路为电感性电路。

②XL＜XC。

如图2-20（b）所示，此时UL＜UC，阻抗角φ＜0，电压相量滞后电流相量φ角，电路为电容性电路。

③XL=XC。

如图2-20（c）所示，此时UL=UC，相量虚部相互抵消，阻抗角φ=0，电压相量和电流相量方向相同，电路为电阻性电路。

图2-20　RLC串联电路的相量图

例2-16　有一RLC串联电路，其中R=20 Ω，L=100 mH，C=50 μF，当信号频率f为工频时，试求复阻抗Z，并确定电路的性质。

解：根据RLC串联电路，复阻抗为

虚部为负值，此电路为电容性电路。

图2-21　例2-17图

（4）阻抗串联电路。

在交流电路中，往往不止由一个电阻、电容、电感元件组成，如图2-22所示，电路由多个复阻抗串联而成，其电压和电流的方向如图所示，根据基尔霍夫电压定律可得

式中，Z串联电路的等效阻抗。在串联电路中，电路的等效复阻抗等于各个串联复阻抗之和。

图2-22　多阻抗串联

串联谐振

2.RLC串联谐振

在RLC电路中，当电流与电压相位相同时，电路呈现电阻性质，这一现象称为电路谐振。

（1）谐振现象。

在RLC串联电路中，当输入信号为正弦信号时，该电路的复阻抗为

当X=XL-XC=0时，电路相当于“纯电阻”电路，其总电压u和总电流i同相。串联电路出现的谐振又称“串联谐振”。

（2）串联电路产生谐振的条件。

由以上分析可知，在串联电路中发生串联谐振时

式中，0f即为谐振频率。

从上述式子可以得知，电路中谐振的出现频率、电容、电感三个参数有关，出现谐振会引起过压，为了消除谐振，可以通过修改L、C、f三个参数。当L、C为定值时，可以通过改变频率f使RLC串联电路达到谐振；当频率f固定时，可以通过改变L、C的值使电路到达谐振。

（3）谐振电路的特征。

①电路的阻抗。

电路发生串联谐振时，电抗X=0，阻抗为R，此时电路阻抗呈纯阻性，其值最小。电源供给电路的能量全部被电阻所消耗。

②电路电流。

当外加电源U不变时，如图2-23所示，当电路发生谐振时，电流达到最大值。电流的相位与外加电源电压的相位相同，其大小与电阻成反比关系。

图2-23　电流随频率变化曲线

图2-24　串联谐振相量图

图2-25　Q与谐振曲线关系

③电路的电压。

由于，如图2-24所示，则电路电压为

即电源电压等于电阻上的电压。但是，电感和电容上的电压单独作用不容忽视，因为

当XL=XC＞R时，UL和UC都比电源电压要高；当XL=XC ＜R 时，UL和UC都比电源电压要低；XL=XC≫R时，UL和UC的值远远高于电源电压很多倍。这是非常值得我们注意的问题。(www.xing528.com)

④电路的品质因数。

UL或UC与电压U的比值称为电路的品质因数，用Q来表示，即

因此，品质因数Q由电路的参数决定，如图2-25所示，当L和C的值不变时，只改变电阻R值。R值越小，Q值越大则谐振曲线越尖锐；R值越大，Q值越小则谐振曲线越平坦。

（三）RLC并联电路

1.RLC并联电路分析

在实际交流电路中，不单单只是有串联电路，R、L、C还有多种组合关系，RLC在组合过程中可以用复阻抗或电纳来表示电路各个部分对电流和电压的作用。

（1）复阻抗分析电路。

如图2-26、2-27所示，在电路中，是多条支路并联的电路，每一条支路都是一个简单RLC串联电路。在每个并联电路中，每一条支路的电压都相同，假设每一条支路的复阻抗为1Z、2Z、…、nZ，复阻抗Z可以是单一的某个元件，也可以是两个元件的串联，或者三个元件串联。

图2-26　多阻抗并联

图2-27　两阻抗并联

以两个复阻抗并联为例，如图2-28所示，由KCL得

令，则式（2-46）为

式中，Z为电路的等效阻抗。

（2）导纳法分析电路。

对于多个支路并联的电路，用导纳法分析比较方便。如图2-28所示，在电路图中，各分支的导纳为

其中，G为电阻的电导，LB为电感的感纳，CB为电容的容纳，单位为“S”。

各支路的电流为

式中，B=BC-BL ，称为电纳，可以用电纳判断电路的性质：

图2-28　RLC并联电路

①当B＞0时，线路电流相位超前电源电压相位，电路呈电容性。

②当B＜0时，线路电流相位滞后电源电压相位，电路呈电感性。

③当B=0时，线路电流相位与电源电压相位相同，电路呈电阻性。

2.RLC并联谐振

工程上也常用到电感线圈与电容并联的谐振电路。如图2-28所示，同串联谐振一样，当端电压u和总电流i同相时，电路的这一工作状态称为并联谐振。

（1）并联谐振的条件。

用电纳法分析，电路等效电纳Y=G+j（BC-BL）。当电路中出现并联谐振时，有

（2）并联谐振的特征。

在ωL≫R的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。

①谐振时，Y=G，导纳为最小值，阻抗（）为最大值，电路为纯阻性。

②谐振时，线路中总电流最小，其相位与端电压同相。电感支路与电容支路的电流大小近似相等，为总电流的Q倍，所以并联谐振又称电流谐振。

谐振为交流电路中的一种特殊现象，在无线电和电工技术中得到广泛应用。但另一方面，发生谐振可能造成某种危害而应该加以避免。当R很小时，出现串联谐振的电路中，电感器和电容器上的电压会超出外加电压许多倍；而在并联谐振时电感器和电容器上的电流会超出外加电流许多倍，故在电力系统中要防止谐振的发生，以免引起的过电压、过电流造成系统的设备损坏或人身事故。

（四）正弦交流电路的功率

在前面已经介绍了单一参数电路中的功率计算，那么本章节将介绍多参数电路中功率的计算。在RLC组合电路中，电阻R是一个耗能元件，电容C和电感L可以进行能量交换，是一个储能元件。

1.瞬时功率p

如图2-29所示，设通过负载的电流为

图2-29　功率

可见，瞬时功率有恒定分量UIcosφ和正弦分量UIcos（2ωt+φ）两部分，正弦分量的频率是电源频率的两倍。

2.有功功率P

我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功率”，或称为“有功功率”，用字母“P”表示。即

这里的φ角是该负载的阻抗角，阻抗角的余弦（即λ=cosφ）称做负载的“功率因数”。

由于电感、电容元件上的平均功率为零，即PL=0，PC=0，因而有功功率等于各电阻消耗的平均功率之和，即有

3.无功功率Q

无功功率的定义式为

在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率等于两者的代数和，即

式（2-50）中Q为一代数量，可正可负，Q为正表示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或磁场能存储起来；Q为负表示电抗向电源发出能量，将存储的电场能或磁场能释放出来。

4.视在功率S

视在功率的定义式为

即视在功率为电路中的电压和电流有效值的乘积。视在功率的单位为伏安（VA·），工程上也常用千伏安（kVA·　）表示。二者的换算关系为

5.功率三角形

以上三种功率和功率因数cosφ在数量上有一定关系，可以用“功率三角形”将它们联系在一起（见图2-30），即

图2-30　功率三角形

例2-21　已知40 W的日光灯电路如图2-31所示，在U=220 V的电压之下，电流值为I=0.36 A，求该日光灯的功率因数cosφ及所需的无功功率Q。

图2-31　例2-21图

6.功率因数的提高

（1）提高功率因数的意义。

由于供电系统中的负载多为感性负载，如交流感应电动机、日光灯、变压器、发电机等，常常会使cosφ减小，从而造成P下降，能量不能充分地利用。

同时由于，所以，在输电功率与输电电压一定的情况下，cosφ越小，输电电流越大。因而增加了线路与发动机绕组的功率损耗。

所以，提高功率因数一方面可以使电源设备的容量得到充分的利用，同时也能使电能得到大量节约。

（2）提高功率因数的方法。

按照供电规则，高压供电的工业企业平均功率因数不低于0.90。提高功率因数的常用方法就是与电感性负载并联电容器，其电路图和相量图如图2-32所示。

由相量图可知，并联电容器以后，总电压u和线路电流i之间的相位差φ变小了，即cosφ变大了。

图2-32　功率因数的提高

由相量图可求得