单一参数正弦交流电路分析方法

电阻元件、电感元件及电容元件是交流电路的基本元件，日常生活中的交流电路都是由这三种元件组合起来的。

单一参数的正弦交流电路是指交流电路中只含有电阻元件、电感元件、电容元件的电路，通常称为纯电阻电路、纯电感电路、纯电容电路。为了方便分析这种电路，我们先分析单元件上电压与电流的关系，能量的转换和储存。在分析各元件正弦交流电路特性时，我们可取单元件上端电压u和电流i中的其中一个为参考正弦量。

（一）纯电阻电路

如图2-6所示，当线性电阻R两端加上正弦电压u时，电阻中便有电流i通过。任一瞬间电压u和电流i的瞬时关系仍服从欧姆定律。在如图2-6所示电压与电流为关联参考方向时，便可得到交流电路中电阻元件上电压与电流的下列关系式。

图2-6　纯电阻电路

1.电流和电压之间的关系

在任一瞬间，通过电阻元件的电流与电阻元件的端电压遵守欧姆定律，即

比较电阻电压和电流的瞬时值表示式可以得出如下结论：

（1）频率关系：通过电阻元件的电流和端电压是同频率的正弦电量。

（2）相位关系：通过电阻元件的电流和端电压的初相位相等，即θu=θi，这表明电压和电流相位相同，它们的波形图如图2-7（a）所示。

图2-7　电阻元件上电流与电压之间的关系

2.电压与电流的相量关系

为了同时表示电压与电流的相位关系和数值关系，可以导出欧姆定律的相量形式，即

式（2-21）是电阻元件上电流与电压的相量关系，也是欧姆定律的相量形式。图2-7（b）所示为电阻元件上电流与电压的相量，二者是同相关系。

3.电阻元件的功率

交流电路中，任一瞬间，元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫作该元件的瞬时功率，用小写字母p表示，即pui=，假设电压和电流的初相位都为零，则瞬时功率的表达式为

由式（2-22）可知，电阻元件的瞬时功率以电源频率ω的两倍做周期性变化。在u、i为关联参考方向时，任一瞬间u、i同号，所以p总是大于或等于零。表明电阻元件不管电压和电流如何变化，电阻元件总在吸收电功率，并将吸收的电能转换成热能，及电阻元件是一个耗能元件。

瞬时功率的计算和测量不是很方便，工程上常用有功功率来表示电阻元件的实际耗能效果。在正弦交流电量的一个周期内瞬时功率的平均值称为有功功率，也称为平均功率，简称功率，用大写字母P表示，即

式（2-23）与直流电路中的功率计算公式相同。式中：P是指平均功率，U和I是指有效值。功率的单位为瓦，用W表示，工程上也常用千瓦（kW），1 kW=1 000 W。

（二）纯电感电路

1.电压与电流的关系

线圈统称为电感线圈，也称为电感或电感器。通过电感元件的电流发生变化，线圈中就会产生自感电动势，其大小与通过线圈的自感磁链对时间的变化率成正比，即

式中为负号，是由于规定磁场减弱时产生的感应电动势为正。

如图2-8所示，根据基尔霍夫电压定律，电感元件的端电压为

图2-8　纯电感电路

其中XL称为感抗，感抗XL与电源频率成正比。在直流电路中电感元件相当于短路。L的单位为亨，用H表示；XL的单位为欧姆，用Ω表示。

比较电压和电流的瞬时值表示式，可以得到以下频率关系、相位关系：

（1）频率关系：通过电感元件的电流与端电压是同频率的正弦量。

（2）相位关系：电压与电流的相位差φ=θu-θi=90°，表面电压超前电流的相位差为90°，它们的波形图如图2-9所示。

图2-9　电感元件上电流和电压的波形图

2.电压和电流的相量关系

由式（2-20）可得：(www.xing528.com)

电流和电压的相量图如图2-10所示。

图2-10　电感元件电流和电压的相量图

3.电感元件的功率

纯电感电路中的瞬时功率等于电压和电流的乘积，用小写字母p表示，即pui=。

结合式前面式子可得

上式表明，电感元件的瞬时功率p也随时间按正弦规律变化，其频率为电流频率ω的两倍。如图2-11所示，在前半周期，瞬时功率为正，表面电感元件从电源吸收电能并转换成磁场能进行储存；在后半个周期，瞬时功率为负，表明电感元件把原来储存的磁场能释放出来并转换成电能还给电源。

图2-11　电感元件的功率曲

电感元件的平均功率计算式如下：

在交流电量的一个周期内，瞬时功率变化两个周期，即两次正，两次负，数值相等，平均功率为零。这说明电感元件不是耗能元件，而是“储能元件”，只对电流起阻碍作用。

我们把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积叫作电感元件的无功功率，用Q表示。

（三）纯电容电路

1.电压与电流的关系

纯电容电路如图2-12所示，交流电流通过电容时，电源和电容器之间不断地充电和放电。电容充放电电流，若在电容器两端加一正弦电压，代入电容充放电电流式中，有

图2-12　纯电容电路

XC称为容抗，容抗XC与电源频率ω成反比。在直流电路中电容元件相当于开路。C的单位为法，用F表示；CX的单位为欧姆，用Ω表示。

比较电压和电流的瞬时值表示式，可以得到以下频率关系、相位关系：

（1）频率关系：通过电容元件的电流与端电压是同频率的正弦量。

（2）相位关系：电压与电流的相位差φ=θu-θi=-90°，表面电压滞后电流的相位差为90°，它们的波形图如图2-13所示。

图2-13　电容元件上电流和电压的波形图

2.电压与电流的相量关系

由式（2-26）得

图2-14给出了电流和电压的相量图。

3.电容元件的功率

瞬时功率pui=，结合电压和电流的变化规律和相互关系，可得到瞬时功率的变化规律如下：

上式表明，电容元件的瞬时功率p也随时间按正弦规律变化，其频率为电流频率ω的两倍。图2-15给出了功率曲线图。

图2-14　电容元件电流和电压的相量图

图2-15　电容元件功率曲线

在纯电容电路中，当电容元件的端电压和流过的电流正负相同时，功率为正值，此时电容处于充电状态；当电压和电流正负相反时，电容处于放电状态。电容的平均功率如下：

可知，电容元件的平均功率为零，与电感元件一样，电容元件也不是耗能元件，而是“储能元件”。

我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积的负值，称为电容元件的无功功率，用Q表示。即