测试装置动态响应特性分析

在对动态物理量（如机械振动的波形）进行测试时，测试装置的输出变化是否能真实地反映输入变化，则取决于测试装置的动态响应特性。系统的动态响应特性一般通过描述系统的微分方程、传递函数、频率响应函数等数学模型来进行研究。

一、传递函数

1.线性定常系统及其主要性质

测试装置用于动态测量时，输入x（t）与输出y（t）均随时间变化，一般可用下述线性微分方程来描述：

any（n）（t）＋an－1y（n－1）（t）＋⋯＋a1y′（t）＋a0y（t）＝bmx（m）（t）＋bm－1x（m－1）（t）＋⋯＋b1x′（t）＋b0x（t） 　（2-4）

当a0，a1，⋯，an和b0，b1，⋯，bm均为常数时，式（2-4）描述的测试装置称为线性定常系统。一般测试装置都是线性定常系统。

线性定常系统有下列重要性质：

1）叠加性

系统对各输入之和的输出等于各单个输入所得输出之和，即

若　x1（t） →y1（t），x2（t）→ y2（t）

则　x1（t）±x2（t） →y1（t）±y2（t） 　（2-5）

2）比例性

常数倍输入的输出等于原输入所得输出的常数倍，即

若　x（t）→ y（t）

则　ax（t）→ay（t）　（a为常数） 　（2-6）

3）微分性

系统对原输入微分的响应等于原输出的微分，即

若　x（t）→y（t）

则　x′（t）→→y′（t） 　（2-7）

4）积分性

当初始条件为零时，系统对原输入积分的响应等于原输出的积分，即

若　x（t）→y（t）

5）频率保持性

若输入为某一频率的谐波信号，则线性定常系统（测试装置）的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即

若　x（t）＝Xcos（ωt＋）

则 y（t）＝Ycos（ωt＋）（2-9）

证 设x（t）→y（t）

则　ω2x（t）→ω2y（t）（根据比例性）

x″（t） →y″（t） （根据微分性）

[x″（t）＋ω2x（t）] →[y″（t）＋ω2y（t）] （根据叠加性）

又由于x（t）＝Xcos（ωt＋），所以有

即x

相应的输出为

y″（t）＋ω2y（t）＝0

则其唯一解为

y（t）＝Ycos（ωt＋）

频率保持性在动态测量中具有十分重要的作用。例如，在稳态正弦激振试验时，响应信号中只有与激励频率相同的成分才是由该激励引起的振动，而其他频率成分皆为干扰噪声，应予以剔除。

2.传递函数

在微分方程（2-4）中含有描述测试装置动态响应特性的信息，但直接考察微分方程的特性比较困难。由于拉普拉斯变换是一种线性变换，故对微分方程（2-4）两边取拉普拉斯变换不会丢失原方程中所含的任何信息，由此引出传递函数的概念。

对微分方程（2-4）两边取拉普拉斯变换，得

将输出量y（t）的拉普拉斯变换Y（s）与输入量x（t）的拉普拉斯变换X（s）之比Y（s）/X（s）定义为系统的传递函数，并记为H（s），即

传递函数（2-11）与微分方程（2-4）两者完全等价，可以相互转化。考察传递函数（2-11）所具有的基本特性，比考察微分方程（2-4）的基本特性要容易得多。这是因为传递函数（2-11）是一个代数有理分式函数，其特性容易识别与研究。

式（2-11）中分母s的幂次n表示系统的阶次，如n＝1或2，分别称为一阶系统或二阶系统。传递函数有以下几个特点：

（1）H（s）和输入x（t）的具体表达式无关。

传递函数H（s）用于描述系统本身固有的特性，与x（t）的表达式无关。x（t）不同时，y（t）的表达式也不同，但二者拉普拉斯变换的比值始终保持为H（s）。

（2）不同的物理系统可以有相同的传递函数。

各种具体的物理系统，只要具有相同的微分方程，其传递函数也就相同，即同一个传递函数可表示不同的物理系统。例如，液柱温度计和简单的RC低通滤波器同是一阶系统，具有相同的传递函数；动圈式电表、振动子、弹簧-质量-阻尼系统和RLC振荡电路都是二阶系统，具有相同的传递函数。

（3）传递函数与微分方程等价。

由于拉普拉斯变换是一一对应变换，不丢失任何信息，故传递函数与微分方程等价。

二、常见测试装置的传递函数

1.一阶系统

（1）图2-4所示为一液柱式温度计。

设x（t）表示被测温度，y（t）表示示值温度，C表示温度计温包的热容量，R表示传导介质的热阻，则由热力学可建立下列方程：

即

RCy′（t）＋y（t）＝x（t） 　（2-12）

令τ＝RC，并对上式两边取拉普拉斯变换，得

τsY（s）＋Y（s）＝X（s）

由此可得其传递函数为

（2）图2-5所示为一简单RC低通滤波电路。x（t）为加在RC串联电路上的总电压，y（t）为电容C两端的电压。由克希霍夫电压定律，有

图2-4 液柱式温度计

VR（t）＋y（t）＝x（t）

式中，VR（t）＝Ri（t）为电阻两端的压降；i（t）＝Cy′（t）。

由此得

RCy′（t）＋y（t）＝x（t） 　（2-14）

图2-5 简单RC低通滤波电路(www.xing528.com)

图2-6 质量可忽略不计的单自由度振动系统

令τ＝RC，并对上式两边取拉普拉斯变换，得

比较式（2-13）与式（2-15）可见，液柱式温度计与简单RC低通滤波电路具有形式完全相同的传递函数，都属于一阶系统。

（3）图2-6所示为质量可忽略不计的单自由度振动系统，用牛顿定律建立微分方程，同样可得形如式（2-13）形式的传递函数。

2.二阶系统

（1）在笔式记录仪和光线示波器的动圈式振子中，固定的永久磁铁所形成的磁场和通电线圈所形成的动圈磁场相互作用，产生电磁转矩使线圈偏转，如图2-7所示。由动量矩定理可建立该系统的运动方程为

图2-7 动圈式仪表振子的工作原理

式中，i（t）为输入动圈的电流信号；θ（t）为振子（动圈）的角位移输出信号；J为转动部分的转动惯量；c为阻尼系数；kθ为游丝的扭转刚度；ki为电磁转矩系数，与动圈绕组在气隙中的有效面积、匝数和磁感应强度等有关。

对式（2-16）两边取拉普拉斯变换后，可求得

式中，为系统的固有频率；为系统的阻尼比；S′＝ki/kθ为系统的灵敏度。

由式（2-17）可见，动圈式振子是二阶系统。

（2）图2-8所示为典型的m-c-k系统。由牛顿第二定律可建立其微分方程为

图 2-8 m-c-k 系统

图2-9 RLC振荡电路

两边取拉普拉斯变换后可求得

式中，为振动系统的固有频率；为振动系统的阻尼比；s＝1/k为振动系统的灵敏度。

（3）图2-9所示为RLC振荡电路。由克希霍夫定律建立其微分方程，然后两边取拉普拉斯变换，可求得形如式（2-17）形式的传递函数，该振荡电路亦为二阶系统。

三、环节的串联和并联

1.串联

图2-10所示为由两传递函数分别为H1（s）与H2（s）的环节串联而成的（测试）系统。

串联系统的传递函数为

一般地，对由n个环节串联而成的系统，有

图2-10 两个环节的串联

图2-11 两个环节的并联

2.并联

图2-11所示为由两传递函数分别为H1（s）与H2（s）的环节并联而成的（测试）系统。

并联系统的传递函数为

一般地，对由n个环节并联而成的系统，有

四、高阶系统的传递函数

高阶系统的传递函数的一般形式为

一般测试装置都是稳定系统，分母多项式的次数n恒大于分子多项式的次数m，即n＞m，且H（s）的分母多项式的所有根均具有负实部。设

则式（2-24）可改写为（按部分分式展开）

式（2-25）表明，高阶系统总可以看成是若干个一阶、二阶系统的并联。所以，研究一阶、二阶系统的基本特性就显得十分重要。

五、频率响应函数

1.定义

前面已论述，线性定常系统具有频率保持性，即当输入为谐波信号时，系统的稳态输出为同频率的谐波信号。至于输入、输出信号两者的幅值与相位之间的关系，可由频率响应函数确定。

设x（t）＝（约定取实部），由线性定常系统的频率保持性可知，系统的稳态输出y（t）的表达式必为y（t）＝。将x（t）与y（t）的表达式代人微分方程（2-4）中并整理后，可得

上式可改写为

式（2-26）定义为系统的频率响应函数。不难看出，频率响应函数就是在传递函数H（s）中将s换为jω而得。因此，频率响应函数常记为H（jω），有时也简写成H（ω），即

2.频率响应函数的意义

从式（2-26）可见：

式（2-28）说明，频率响应函数的模为谐波输出的幅值与谐波输入的幅值之比；式（2-29）说明，频率响应函数的相位为谐波输出的相位与谐波输入的相位之差。因为频率响应函数描述了谐波输入与谐波输出之间幅值与相位的变化（频率保持不变），因此频率响应函数也常被称为谐波传递函数。

如将H（jω）的实部和虚部分开，并记作

H（jω）＝P（ω）＋jQ（ω） 　（2-30）

其中P（ω）和Q（ω）都是ω的实函数。以频率ω为横坐标，以P（ω）和Q（ω）为纵坐标所绘的图形分别称为系统的实频特性图与虚频特性图。

又若将H（jω）写成

其中，　　（2-32）

式（2-32）称为系统的幅频特性，以ω为横坐标，以A（ω）为纵坐标所绘的图形称为系统的幅频特性图；式（2-33）称为系统的相频特性，以ω为横坐标，以（ω）为纵坐标所绘的图形称为系统的相频特性图。

3.常见测试装置的频率响应函数

1）一阶系统

一阶系统传递函数的标准形式为（设灵敏度S＝1）

令s＝jω，得一阶系统的频率响应函数为

其幅频和相频特性分别为

按式（2-34）及式（2-35）所绘的一阶系统的幅频特性和相频特性曲线如图2-12所示。

图2-12 一阶系统的幅频和相频特性曲线

（a）幅频特性曲线；（b）相频特性曲线

从图2-12可以看出，一阶系统的幅频特性曲线中A（ω）和（ω）随着频率ω的增加而单调减小，衰减很快，故一阶系统具有低通滤波的特性。

2）二阶系统

二阶系统传递函数的标准形式为（设灵敏度S＝1）

令s＝jω代入上式并整理后，得二阶系统的频率响应函数为

其幅频特性和相频特性分别为

按式（2-36）及式（2-37）所画的二阶系统的幅频特性和相频特性曲线如图2-13所示。曲线的形状依ζ的取值不同而异。

图2-13 二阶系统的幅频和相频特性曲线

（a）幅频特性曲线；（b）相频特性曲线