任务导引
工程实际中，有很多杆件是承受扭转作用而传递动力的。例如，用于钻孔的钻头［见图8.4.1（a）］，汽车转向轴［见图8.4.2（b）］以及传动系统的传动轴AB［见图8.4.1（c）］等均是扭转变形的实例，它们都可简化为如图8.4.1（d）所示的计算简图。从计算简图可以看出，杆件扭转变形的受力特点是：在与杆件轴线垂直的平面内受到若干个力偶的作用。其变形特点是：杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动，杆轴线始终保持直线。
图8.4.1
任务要求
（1）了解构件扭转变形的形式和特征；
（2）会画扭矩图。
任务实施
一、扭转的概念
工程上常将以扭转变形为主的杆件称为轴。机械中的轴，多数是圆截面和圆环形截面，统称为圆轴。本任务内容只研究圆轴的扭转变形。
二、圆轴外力偶矩的计算
工程中的传动轴通常不直接给出外力偶矩，只给出其转速和所传递的功率，则外力偶矩的计算公式为
式中 Me——外力偶矩，N·m；
P——轴传递的功率，kW；
n——轴的转速，r/min。
三、扭矩和扭矩图
1.扭矩
如图8.4.2（a）所示，圆轴在一对大小相等、转向相反的外力偶矩Me的作用下产生扭转变形，此时横截面上就产生了抵抗变形和破坏的内力，我们可用截面法把它显示出来，如图8.4.2（b）、（c）所示。取左段为研究对象，由平衡关系可知，扭转时横截面上内力合成的结果必定是一个力偶，这个内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。由平衡条件
T－Me＝0
得
T＝Me
若取右段为研究对象，同样可求得T，它们大小相等、转向相反，是作用力偶矩和反作用力偶矩的关系。为了使不论取左段还是取右段求得的扭矩大小、符号都一致，对扭矩的正负号规定如下：按右手螺旋法则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，则大拇指的指向离开截面时为正；反之为负［见图8.4.2（c）］。
图8.4.2 扭矩
2.扭矩图
为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，常需画出扭矩随截面位置变化的图像，这种图像称为扭矩图。取平行于轴线的横坐标x表示各截面的位置，垂直于轴线的纵坐标T表示相应截面上的扭矩，正扭矩画在x轴的上方，负扭矩画在x轴的下方［见图8.4.3（d）］。
图8.4.3 扭矩图
当轴受多个外力偶作用时，由平衡条件可得计算扭矩的简捷方法：
圆轴任一截面的扭矩等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的代数和。按右手定则，四指表示外力偶矩的转向，圆轴左侧截面以左大拇指指向左或圆轴右侧截面以右大拇指指向右的外力偶矩，在截面上产生正的扭矩，简称为“左左右右，扭矩为正”；反之，则产生负的扭矩。
四、圆轴扭转时横截面上的切应力
通过实验和理论推导得知：圆轴扭转时横截面上只产生切应力，而横截面上各点切应力的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向与过该点的半径垂直。圆心处切应力为零，在圆轴表面上各点的切应力最大，如图8.4.4所示，并且可以得出横截面上任一点的切应力公式为
式中 T——横截面上的扭矩，N·m；
Ip——横截面对圆心的极惯性矩，m4；
ρ——横截面上任一点到圆心的距离，m。
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图8.4.4 切应力
显然，当ρ＝R时，切应力最大，即
令Wp＝Ip/R，于是上式可改写为
式中 Wp——抗扭截面系数，m3。
截面的惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp都是与截面形状和尺寸有关的几何量。工程中承受扭转变形的圆轴常采用实心圆轴和空心圆轴两种形式，其横截面如图8.4.5所示。
它们的Ip和Wp的计算公式分别为
（1）实心圆轴
式中 D——轴的直径，m或mm。
（2）空心圆轴
图8.4.5 横截面图
式中 D——空心圆轴的外径，m；
d——空心圆轴的内径，α＝d/D。
五、圆轴扭转时的强度条件
为了保证受扭圆轴能正常工作，应使圆轴内的最大工作切应力不超过材料的许用切应力。所以，抗扭强度条件为
式中 T——圆轴危险截面（产生最大切应力的截面）上的扭矩；
Wp——危险截面的抗扭截面系数；
[τ]——为材料的许用切应力，根据扭转实验确定，可从有关设计手册中查得。
在静载荷作用下它与材料的许用拉应力[σ]之间存在如下关系
塑性材料[τ]＝（0.5～0.6）[σ]
脆性材料[τ]＝（0.8～1.0）[σ]
应用圆轴扭转的强度条件可以进行强度校核、设计截面、确定许可载荷三类问题的计算。
任务拓展与反思
1.图8.4.6所示圆轴受外力偶作用，其外力偶矩分别为：MA＝3342N·m，MB＝1432N·m，MC＝MD＝955N·m，试绘出该圆轴的扭矩图。
图8.4.6
2.作出图8.4.7中各杆的扭矩图。
图8.4.7
3.如图8.4.8所示的传动轴做匀速转动，轴上装有5个轮子，主动轮2的输入功率为65kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为20kW、12kW、25kW和8kW，轴的转速n＝200r/min。试作该轴的扭矩图。
图8.4.8
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