力偶的作用和表示方法，平面力偶系的合成和平衡条件

任务导引

钳工用丝锥攻螺纹时，要求双手均匀加力，如图7.3.1所示。如果单手用力可以吗？

图7.3.1　丝锥攻螺纹操作图

任务要求

掌握力矩、力偶、力的平移的基本概念。

任务实施

一、力对点之矩

力对物体除了运动效应外，有时还会产生转动效应。如图7.3.2所示，当用扳手拧紧螺母时，力F对螺母拧紧的转动效应不仅取决于力F的大小和方向，而且还与该力到O点的垂直距离d有关。F与d的乘积越大，转动效应越强，螺母就越容易拧紧。因此，在力学上用物理量Fd及其转向来度量力F使物体绕O点的转动效应，称为力对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示。即MO（F）＝±Fd。式中，O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d称为力臂。式中正负号表示两种不同的转向。通常规定：使物体产生逆时针旋转的力矩为正，反之为负。

图7.3.2　力矩图

力矩的单位是N·m或kN·m。显然，力矩在下列两种情况下等于零：

（1）力等于零。

（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。

二、力偶和力偶矩

1.力偶的概念

实际生活中，常见到钳工用手动丝锥攻螺纹［见图7.3.3（a）］、汽车司机用双手转动方向盘［见图7.3.3（b）］等。这时在丝锥、方向盘上都作用着一对等值、反向、作用线不在一条直线上的平行力，它们能使物体发生单纯的转动。这种大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的两个力，称为力偶，记作（F，F′）。力偶中的两个力之间的距离d称为力偶臂［见图7.3.3（c）］，力偶所在的平面称为力偶的作用面。力偶对物体的转动效应取决于力偶中力的大小、力偶臂d的长度和力偶的转向。因此，力学中用F与d的乘积，加上适当的正负号作为度量力偶在其作用平面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并用符号M表示。即M＝±Fd。

图7.3.3　力偶和力偶矩

2.力偶的性质

（1）力偶在任一轴上投影的代数和为零（见图7.3.4），力偶无合力，力偶不能用一个力来代替。一个力偶作用在物体上只能使物体转动，而一个力作用在物体上时，将使物体移动或既移动又转动，因此，力偶无合力，且不能与一个力平衡，即力偶必须用力偶来平衡。力偶和力是组成力系的两个基本物理量。由于力偶中的两力等值、反向，所以力偶在任一轴上投影的代数和等于零。

图7.3.4

（2）力偶对其作用面内任意一点之矩恒等于该力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。如图7.3.5所示，已知力偶（F，F′）的力偶矩M＝Fh。在力偶的作用面内任取一点O为矩心，经过推导，可以证明力偶（F，F′）对O点之矩仍为原力偶矩M。

图7.3.5

该性质说明力偶使物体对其作用面内任一点的转动效应是相同的。由此可以得到：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其平面内任意移动，且可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用效应。因此，力偶也可以用一带箭头的弧线表示。

图7.3.6　力偶的表示方法

三、平面力偶系的合成和平衡条件

在同一平面内，由若干个力偶组成的力偶系称为平面力偶系。

根据力偶的性质可以证明，平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即

M＝M1+M2+…+Mn＝∑Mi

若物体在平面力偶系作用下处于平衡状态，则合力偶矩必定为零。即

M＝∑Mi＝0

上式称为平面力偶系的平衡方程。利用这个平衡方程，可以求出一个未知量。

【例1】用多轴钻床在水平工件上钻孔时（见图7.3.7），三个钻头对工件施加力偶的力偶矩分别为M1＝M2＝M3＝20N·m，固定螺栓A和B之间的距离L＝500mm，试求两螺栓所受的水平约束力。

解：（1）选取工件为研究对象。

（2）工件在水平面内受三个力偶和两个螺栓的水平约束力的作用而平衡，三个力偶合成后仍为一力偶，根据力偶的性质，力偶只能和力偶相平衡，故两个螺栓的水平约束力FNA和FNB必然组成一个力偶，且FNA、FNB大小相等，方向相反。工件的受力如图7.3.7（b）所示。

图7.3.7

（3）列平衡方程

得(www.xing528.com)

由作用与反作用定律可知，FNA、FNB为两个螺栓所受到的力。

【例2】如图7.3.8（a）所示，平面机构OABC中，已知作用在杆OA上的力偶矩为M1，为使机构在a＝β＝45°时保持平衡，求作用在杆BC上的力偶矩M2。设OA＝a，BC＝b，各杆的自重与各接触处摩擦不计。

解（1）选研究对象，进行受力分析，画受力图。

已知力偶M1作用于OA杆上，未知力偶M2作用于BC杆上，OA杆和BC杆之间联系的“桥梁”是AB杆，故分别选OA杆、AB杆、BC杆为研究对象，画出分离体，并在OA杆、BC杆上分别画出已知力偶M1、未知力偶M2。

分析可知，AB杆为一二力杆，所以FNA、FNB均沿杆AB的轴线，且FNA＝FNB，方向假设如图7.3.8（b）所示。

图7.3.8

根据作用与反作用定律，可确定OA杆A铰链处的约束反力，且，根据力偶的性质二，力偶只能与力偶平衡，故FNO与组成一对约束反力偶，即FNO平行于，且，如图7.3.8（c）所示。

同理可以画出BC杆的受力图，如图7.3.8（d）所示，且有。

由以上分析可知，

（2）列平衡方程：对于OA杆

对于BC杆

通过以上例题，可以总结出求解平面力偶系平衡问题的基本步骤：

（1）选研究对象。当已知力偶和未知力（或力偶）都作用在同一个物体上时，只选一个研究对象即可；当已知力和未知力（或力偶）分别作用在不同的物体上时，就要多次选择研究对象。

（2）对研究对象进行受力分析，画受力图。分析已知力偶和待求未知力（或力偶）的关系，紧紧围绕力偶只能和力偶平衡这一点去解决问题。

（3）列平衡方程，求解未知量。列平衡方程时要注意力偶矩的正负，计算结果中出现负号时，说明实际受力方向或力偶的转向与所设方向相反，不必去改受力图。

四、力的平移定理

由力的可传性原理可知，作用在刚体上的力可沿其作用线移动至刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效应。那在不改变力对刚体作用效应的前提下，能不能将作用在刚体上的力平行移动到作用线以外的任意一点呢？

【定理】作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩。

设力F作用在刚体上的A点，现要把它平行移动到作用线以外的O点，条件是不能改变原力F对刚体的作用效应，如图7.3.9（a）所示。

图7.3.9

在新作用点O上加上大小相等、方向相反且与原力平行的两个力F′和F〞，并使F′＝F〞＝F，如图7.3.9（b）所示。显然新加上的两个力满足力平衡公理，是一个平衡力系，不改变原力F对刚体的作用效应，即力系（F、F′、F〞）与力F是等效的。也就是说，F和F〞组成一个力偶，称为附加力偶，其力偶矩M等于原力F对O点之矩，即M＝MO（F）。于是，作用于A点的力F由作用在O点的力F′和一个力偶（F、F〞）所代替，如图7.3.9（c）所示。由于F′＝F，可以认为是力F平移到了O点，但是作为等效力系，还必须加一个力偶，其附加力偶矩为M＝MO（F）。

如图7.3.10所示，乒乓球受到力F的作用。分析力F对球的作用效应：将力F平移至球心，得到平移力F′和附加力偶M，力F′使球移动，附加力偶M使球转动。

图7.3.10

由以上实例可见，力对作用线以外的转动中心，有两种效应：一是平移力对物体产生移动效应，当物体受到约束不能移动时，就会引起变形；二是附加力偶对物体产生转动效应。

任务拓展与反思

1.计算下列图7.3.11中各图P点对O点之矩。

图7.3.11

2.求图7.3.12所示各梁的支座反力。

图7.3.12

3.刚架上作用着力P，分别计算力P对A点和B点的力矩。

4.机构OABO1，在图7.3.14所示位置平衡。已知OA＝400mm，O1B＝600mm，作用在OA上的力偶的力偶矩m1＝1N·m。试求力偶矩m2的大小和杆AB所受的力。

图7.3.13

图7.3.14