特征根、振荡模态和振型简介

一个动态系统，在其运行点线性化可以得到式（3-1）所示的线性化模型，然后可以通过特征根来分析系统在小扰动下的动态响应特性。

式中，X为增量形式的系统状态变量，A为系统的状态矩阵，系统相应的特征方程为

∣λI-A∣=0 （3-2）

满足式（3-2）的λ值称为矩阵A的特征根，当矩阵A为非奇异矩阵时，其特征根个数与矩阵维数相同。

对于线性系统（3-1），每个特征根对应一个动态响应分量，通常也称为一个模态，根据其所有特征根实部的正负可以判断系统的稳定性。对于特征根λ_i=σ_i+jω_i，当λ_i为实数时，对应于一个非振荡模态，负实数表示衰减模态，其绝对值越大，衰减越快；正实数表示发散模态，其绝对值越大，发散越快。当λ_i为复数时，由于矩阵A为实数矩阵，其复数特征根总以共轭复数对形式出现，每一对共轭复数特征根对应一种振荡模态；同样地，此时λ_i的实部σ_i表征了该振荡模态的衰减特性，负实部表示衰减振荡，正实部表示增幅振荡；而λ_i的虚部ω_i则给出了该振荡模态的振荡角频率。

对于机电振荡，对应的特征根都以共轭特征根对的形式出现，称为一个振荡模态（mode），其对应的（右）特征向量称为振荡型态（简称振型，modeshape）。

矩阵A的特征根λ_i对应的（右）特征向量为满足下式（3-3）定义的向量u_i：

Au_i=λ_iu_i （3-3）

由全部特征根的特征向量组合构成了特征向量矩阵U=（u₁，u₂，…u_n），显然其满足下式：

U^-1AU=Λ （3-4）(www.xing528.com)

式中，Λ=diag{λ₁，λ₂，…λ_n}为特征根组成的对角阵。

作变换

X=UZ （3-5）

代入原状态方程可得

式（3-6）实现了矩阵A的对角化，并且实现了系统模态的解耦，其中第i个方程为

显然z_i中只含有一个独立的振荡模态λ_i。

联立式（3-5）和式（3-6）可得

X=UZ=∑u_iz_i，

可知特征根λ_i对应模态的振型，即（右）特征向量u_i反映了各状态量中含有该模态分量的相对幅值和相位。