系统建模方法及其在系统分析中的应用

传统的数学建模方法基本上有两大类:机理分析建模和试验统计建模。近些年建模方法又有了新的进展,常见的方法有:机理分析法、直接相似法、系统辨别法、回归统计法、概率统计法、量纲分析法、网络图论法、图解法、模糊集论法、蒙特卡罗法、层次分析法、“隔舱”系统法、定性推理法、“灰色”系统法、多分面法、分析统计法及计算机辅助建模法等。

在系统分析中建立能较全面、集中、精确地反映系统状态、本质特征和变化规律的数学模型是系统建模的关键。系统分析下的数学模型只是系统结构和机理的一个抽象,只有在系统满足一些原则的前提下,所描述的模型才趋于实际。因此,建模一般应遵循以下原则:

(1)系统建模应遵循可分离原则。系统的分离依赖于对系统的充分认识,对系统环境的界定、系统因素的提炼以及约束条件与外部条件的设定。

(2)系统建模应遵循假设的合理性原则。假设的合理性直接关系到系统模型的真实性,无论是物理系统、经济系统,还是其他自然科学系统,它们的模型都是在一定的假设下建立的。

(3)系统建模应遵循因果性原则。按照集合论的观点,因果性原则要求系统的输入量和输出量满足函数映射关系,它是数学模型的必要条件。

(4)系统建模应遵循输入量和输出量的可测量性、可选择性原则,对动态模型还应保证适应性原则。

系统建模大致可以划分为4个阶段:系统认识阶段、系统建模阶段、模型求解阶段、模型分析与检验阶段。

1.系统认识阶段

(1)系统建模的目的。对优化或决策问题,大都需要建立模型的目标。目标确定之后,要将目标表述为适合于建模的相应形式,通常表示为模型中目标的最大化或最小化。

(2)系统建模的规范。根据模型的要求和模型的目标,拟定模型的规范,使模型问题规范化。规范化工作包括对象问题有效范围的限定、解决问题的方式和工具要求、最终结果的精度要求、结果形式和使用方面的要求。

(3)系统建模的要素。根据模型目标和模型规范确定应涉及的各种要素。在要素确定过程中须注意选择真正起作用的因素,筛去那些对目标无显著影响的因素。对选定因素应注意它们是确定性的还是不确定性的,能否进行定量分析等。

(4)系统建模的关系及其限制。模型中的关系要求建模者从模型和模型规范出发,对模型要素之间的各种影响、因果联系进行深入分析,并作适当的筛选,找出那些对模型真正起作用的重要关系。所有这些关系将把目标与所有要素联系为一个整体,形成模型分析的基础,通常可以表示为一个结构模型。确定关系后,按照模型规范的要求,模型的建立必须在一定的环境、一定的范围、一定的要求下进行,这个环境、范围和要求必然要对模型起限制作用。此外,要素本身的变化有一定的限度,要素的相互影响作用也只能在一定的限度内保持有效。因此,模型制约化工作要求建模者找出对模型目标、模型要素和模型关系起限制作用的各种局部性和整体性约束条件。(www.xing528.com)

2.系统建模阶段

模型是对现实系统的某种表示,所以模型离不开形式。要素原型如何表示为要素变量,要素变量之间的关系如何表示,要素变量与模型目标之间的关系如何表示,约束条件如何表示,以及各个部分的整体性表示,特别是如何进行有关方面的数量表示,这些都是模型形式化问题。

建模是为了解决实际问题,模型的形式只能恰当适中,并非越复杂越好,而是要便于使用、便于有效地解决问题。

对于复杂的系统,通常用一个略图来定性地描述系统。考虑到系统的原型往往是复杂的、具体的,建模的过程必须对原型进行抽象、简化,把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来,简化非本质因素,使模型摆脱原型的具体复杂形态,并且假定系统中的成分和因素、系统环境的界定以及设定系统适当的外部条件和约束条件。对于有若干子系统的系统,通常确定子系统,明确它们之间的联系,并描述各个子系统的输入输出关系。

在建模假设的基础上,进一步分析建模假设的各个条件。首先区分哪些是常量,哪些是变量,哪些是已知的量,哪些是未知的量;然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系,选择恰当的数学工具和建模方法,建立刻画实际问题的数学模型。

3.模型求解阶段

构造数学模型之后,模型求解常常会用到传统的和现代的数学方法。对于复杂系统,常常无法用一般的数学方法求解,计算机模拟仿真是模型求解中最有力的工具之一。其方法是根据已知条件和数据,分析模型的特征和模型的结构特点,设计或选择求解模型的数学方法和算法,然后编写计算机程序或运算与算法相适应的软件包,并借助计算机完成对模型的求解。

4.模型分析与检验阶段

依据建模的目的要求,对模型求解的数学结果,或进行稳定性分析,或进行系统参数的灵敏度分析,或进行误差分析等。通过分析,如果不符合要求,则修正或增减建模假设条件,重新建模,直至符合要求。如果通过分析符合要求,则还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。

数学模型的建立是为系统分析服务的,因此模型应当能解释系统的客观实际。在模型分析符合要求之后,还必须回到客观实际中去对模型进行检验,看它是否符合客观实际。若模型不合格,则必须修正模型或增减模型假设条件,重新建模,循环往复,不断完善,直到获得满意的结果。