【摘要】：当钢管高速运行时，感生磁场会使钢管磁化状态呈现不均匀，离开区磁感应强度大于进入区磁感应强度。如图5-18所示，检测区域内依次分布四个尺寸相同的横向缺陷，其中C2和C21位于进入区，C22和C23位于离开区。感生磁场会引起钢管管端磁化状态发生变化，进一步导致位于钢管管头、管体和管尾的具有相同尺寸的缺陷产生不同的漏磁场强度。
将整个求解区域R 划分为有限个单元,假定单元内任一点任何时刻的温度和温度变化率由结点的温度和温度变化率通过形函数N 插值得到,即
式中 Te(x,y,z,τ)——单元内任一点τ时刻的温度;
{T}e——时间τ的函数,{T}e={T1,T2,…,Tm}T;
m——该单元的结点数。
在单元e(子域ΔR)中的泛函为
将式(3-4-6)～式(3-4-10)代入式(3-4-11),可以得到单元e对结点温度的偏导数为
在单元e上把各个偏导数
进行列阵(i=1,2,…,m),得到(www.xing528.com)
其中
热传导矩阵[H]e 中第一项是单元的贡献,第二项是第三类热交换边界对热传导矩阵[H]e 的修正;温度荷载向量 {F}e 中第一项是单元热源产生的,第二项是单元第二类给定热流边界条件产生的;第三项是单元第三类对流换边界产生的。
在单元足够小的条件下,泛函I(T)的极值条件等价于各个单元[H]e、[R]e、{F}e 集成,得到泛函的各个结点温度的偏微分为
其中
式(3-4-18)是一组以时间τ为独立变量的线性常微分方程组。其中R 是热容矩阵,H 是热传导矩阵,C 与K 都是对称正定矩阵,F 是温度荷载列阵,T 是结点温度列阵,∂{T}/∂τ是结点温度对时间的导数列阵。
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