有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）

在信号处理系统中，若使用计算机进行傅里叶变换运算时，要求：

（1）时域和频域的自变量均为离散的。

（2）时域和频域的数据点数均为有限的。

在上述四种形式的傅立叶变换中，总有至少一个域为连续（FS变换中时域连续、FT变换中时域和频域均连续、DTFT变换中频域连续）或无限长（DFS变换中时域无限长），这些均不能通过计算机进行运算分析。

一般来说，任意信号x(t)是定义在时间区间（−∞，+∞）上的连续函数，但所有计算机的 CPU（中央处理器）都只能按指令周期离散运行，同时计算机也不能处理（−∞，+∞）这样一个时间段。当用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短（或补零）为长度为N的有限长序列，具体做法如下：(www.xing528.com)

首先对连续非周期信号x(t)进行均匀采样得到离散时间信号x(nTs)=x(n)，再通过截短（或补零）得到一个长度为N的有限长序列x(n)（见图 2-3-10），将其作为周期序列的一个主值序列并进行周期延拓，利用离散傅立叶级数（DFS）变换得到其频谱，在其频谱上等间隔抽样N点得到序列X(k)，刚好对应有限长序列的N点周期延拓。因此，定义x(n)的N点傅里叶变换为

其中N称为DFT的变换区间长度。X(k)的反变换为

式（2-3-16）称为离散傅里叶变换正变换（求系数），式（2-3-17）称为离散傅里叶变换反变换（求时间序列），式（2-3-18）和式（2-3-19）称为离散傅里叶变换对。

将周期序列的离散傅里叶级数变换对和有限长序列的离散傅里叶变换对进行比较可见，有限长序列可以看成周期序列的一个周期；反之，周期序列可以看成有限长序列以 N 为周期的周期延拓。DFT是将DFS取主值，DFS是DFT的周期延拓。