连续周期信号的傅里叶级数解析

设f(t)是一连续周期信号，周期为T，，则f(t)可展开成以下两种形式的傅里叶级数。

1.三角形式的傅立叶级数

其中：。

直流分量：

余弦分量的幅度：

正弦分量的幅度：

式（2-3-1）表明，连续周期信号可分解为直流分量和一系列正弦信号的线性组合。每个正弦波的频率都是以0ω的整数倍离散分布，且幅度cn和相位nφ都是关于n0ω的函数。其中，0ω对应的波形称为基波，n0ω对应的波形称为n次谐波。

三角形式的傅立叶级数可用图2-3-1所示的立体图来形象描述，图中的连续周期信号被分解成一系列的频率为0ω整数倍的正弦信号，将这些正弦信号往侧面投射即可得到幅度随频率变化的线图，这种图称为幅度谱，通过幅度谱可以很直观地看出各频率分量的相对大小；将这些信号往下投射即可得到相位随频率的变化的线图，这种图称为相位谱。将幅度谱和相位谱画在平面直角坐标系中就是我们平时看到的如图2-3-2所示的效果。

图2-3-1　连续周期信号的时域与频域的映射关系

图2-3-2　连续周期信号的幅度谱和相位谱

从图 2-3-2 中不难看出，周期信号的频谱是离散谱。同时，基波决定信号的“轮廓”，谐波决定信号的“细节”。

【例2-3-1】已知周期信号，试画出其频谱图（频谱图和相位图）。

解：将f(t)整理为标准形式，即

其频谱图如图 2-3-3 所示。

图2-3-3 【例2-3-1】利用三角形式的傅里叶级数计算周期信号的频谱图

2.指数形式的傅里叶级数

虽然三角形式的傅里叶级数物理含义明确，但用其进行数学运算常感不便，由于指数形式的傅里叶级数便于计算且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来，因而实际应用中常采用指数形式的傅里叶级数。(www.xing528.com)

利用欧拉公式，式（2-3-1）可整理为

系数F(nω0)可由信号f(t)得到，即

式（2-3-2）表明，任意连续周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。其各分量的复数幅度（或相位）为F(nω0)。

可以证明，虚指数信号的系数F(kω0)与三角形式的傅里叶级数中正弦信号的系数cn具有严格的对应关系，在此不再赘述。

针对【例2-3-1】中的f(t)信号，也可以按照式（2-3-3）计算，得到其幅度谱和相位谱，如图2-3-3所示。

图2-3-4 【例2-3-1】利用指数形式的傅里叶级数计算周期信号的频谱图

比较图 2-3-3 和图 2-3-4 可以发现，利用指数形式的傅里叶级数公式计算出的频谱图是双边谱，其中幅度谱具有偶对称性且每条谱线是单边谱中谱线的一半，双边相位谱具有奇对称性。

当F(nω0)为实数时，可用正负来表示相位 0 或π，这时常把幅度谱和相位谱画在一张图上（见图 2-3-6）

综上所述，周期信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。各信号仅在0ω的整数倍上取值，即它在频率轴上的取值是离散的，故F(kω0)为离散谱。因此得到结论：若信号在时域是周期的，则频域的频谱是离散的（离散间隔为）。

【例2-3-2】周期性矩形脉冲信号的波形如图 2-3-5 所示，试计算其频谱图。

图2-3-5　周期性矩形脉冲信号

解：由图 2-3-5 可知，此周期性矩形脉冲信号的周期为 T，宽度为τ，幅度为 E，它在一个周期内的解析式为

代入式（2-3-3）中，得

因此，周期性矩形脉冲信号的频谱如图 2-3-6 所示。

图2-3-6　周期性矩形脉冲信号的频谱

不难看出，周期性矩形脉冲信号的频谱是离散的（离散间隔为），且谱线的包络为抽样信号（单个矩形脉冲的频谱为抽样信号）。进一步研究证明，周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三大特点。