随机变量和概率：抛骰子赌大小的例子

根据概率空间，我们可以完整地了解（随机性）实验结果的详细情况：可能的结果、可能的事件、各个事件的概率（归一化权重）。但是，这些信息还不足以支持我们做决策，因为，我们还需要知道实验结果到底意味着什么。一个极端的例子是：抛骰子来赌大小，“小”可以赢得小半瓶别人喝剩的可乐、“大”需要无偿送二十年快递，就算使用特殊的骰子，让“小”的可能性很大（概率空间提供的信息），是否就值得我们去参与这个活动？

图14.2　“抛骰子赌大小”例子中的随机变量（初步）和概率。(a)随机变量（初步）中所定义的“随机变量”将集合Ω中的六个元素映射成实数轴上的六个点：xi=X(ωi)（其中i=1,2,···,6）。(b)概率将（集合Ω的分割{ϕ,B 1,B 2}中的）两个（非空）集合B 1={ω1,ω2,ω3}和B 2={ω4,ω5,ω6}映射成实数轴上（[0,1]区间中）的两个点：Pi=P(B i)（其中i=1,2）。

为了解决这一问题，我们通过（前面提到的随机变量（初步）中定义的）映射X(ωi)将（所有）可能的实验结果ωi∈Ω（全部）映射到实数轴上，来赋予（由所有实验结果所组成的）集合Ω以数的结构，从而可以对Ω中的元素进行排序和比较大小。整个想法肯定是睿智和正确的，但是，需要做进一步的完善。

我们通过一个具体的例子：“抛骰子赌大小”，来具体说明。在这个例子中，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}；F={ϕ,B1,B2,Ω}。六种可能的结果分别是：ω1=1点，ω2=2点，ω3=3点，ω4=4点，ω5=5点，ω6=6点。在（集合Ω的）分割（或划分）{ϕ,B1,B2}中，两个非空的集合分别是：B1={ω1,ω2,ω3}和B2={ω4,ω5,ω6}。随机变量（初步）中所定义的“随机变量”将集合Ω中的六个元素映射成实数轴上的六个点^[5]：xi=X(ωi)（其中i=1,2,···,6），如图14.2(a)所示。概率将（集合Ω的分割{ϕ,B1,B2}中的）两个（非空）集合B1和B2映射成实数轴上（[0,1]区间中）的两个点：Pi=P(Bi)（其中i=1,2），如图14.2(b)所示。

图14.3　要将（概率空间中的）(Ω,F)整体映射到（由X轴和P轴张成的）二维空间R 2，除了将Ω和F分别映射到X轴和P轴上以外，还要建立起两组映射结果之间的对应关系！(a)在两组映射结果中，点的个数并不一致（X轴上有六个点而P轴上只有两个点），如何将这两组点匹配起来？(b)我们可以强行使得X轴上只有两个点，也就是说，强行使得X轴上的某些点重合在一起，由此产生了可测函数这个重要概念。

图14.2中的抽象集合Ω不是数轴，加上“虚线”只是为了美观。由于Ω中的元素没有先后顺序和大小关系，图14.2中的“虚线”也不应该有“箭头”。我们的进展似乎很顺利，通过（待完善“随机变量”的）和概率这两个函数^[6]，分别将（概率空间中的）Ω和F映射到了两条实数轴（图14.2(a)中的X轴和图14.2(b)中的P轴）上。注意，X轴和P轴这两条实数轴张成了一个二维空间，称为“PX”平面。那么，我们能否认为：“随机变量”（函数X:Ω→R）和概率（函数P:F→[0,1]∈R）将（概率空间中的）(Ω,F)整体映射到了（由X轴和P轴张成的）二维“PX”平面上？答案是否定的！“随机变量”和概率只是将概率空间中的(Ω,F)分别映射到两条实数轴（X轴和P轴）上。要将(Ω,F)映射到（由X轴和P轴张成的）二维空间R2，还需要：建立起两组映射结果之间的对应关系！

对于“抛骰子赌大小”的例子，我们需要建立X轴上六个点与P轴上两个点之间的对应关系，如图14.3(a)所示。这似乎是一个不可能实现的任务：这两组点的个数并不一致（X轴上有六个点而P轴上只有两个点），难以进一步实现匹配对应。因此，我们首先要想办法使这两组点的个数一致起来，例如：强行使得X轴上只有两个点，也就是说，强行使得X轴上的某些点重合在一起，如图14.3(b)所示。为此，我们需要进一步完善“随机变量”的定义：对函数映射X:Ω→R加以约束，使其由图14.2(a)所示的“一般形式”变为图14.3(b)所示的“特殊形式”，从而实现与概率映射结果（P轴上的点）之间的匹配对应。具备上述“特殊形式”的函数映射称为可测函数。我们将逐步探索和理解：(1)“特殊形式”的具体内涵，(2)“可测”两个字的具体含义。

图14.3(b)中，函数映射xi=X(ωi)的“特殊形式”体现在：（对集合Ω的分割中的）每一个非空Bi中的所有元素都被映射成同一个数，也就是说，x1=x2=x3和x4=x5=x6。我们将具有上述性质的映射称为可测函数^[7]。注意，我们不应该继续使用X:Ω→R来描述可测函数，而应该使用：

因为可测函数在映射Ω中的元素的时候，还用到了（集合Ω的）分割{ϕ,B1,B2,···,Bk}进行“配合”：每一个非空集合Bi中的所有元素必须被映射到同一个数！正如我们前面所提到的：（集合Ω的）分割{ϕ,B1,B2,···,Bk}是（集合Ω的）σ-代数F的“只基于并运算”的（唯一的）基本生成单元，两者是一一对应的！我们并不过多地对{ϕ,B1,B2,···,Bk}和F加以区分。

注意，概率P:F→[0,1]∈R是“针对”F的函数映射，对比式(14.9)，我们不难理解为什么可测函数的映射结果（图14.4中X轴上的点）能够和概率的映射结果（图14.4中P轴上的点）对应起来，F（或等价的{ϕ,B1,B2,···,Bk}）在其中起到了“纽带”的作用。具体说，（非空）集合B1,B2,···,Bk被映射成P轴上的k个点，从B1,B2,···,Bk中的每一个集合里面各取一个元素，取出来的k个元素被映射成X轴上的k个点，最终，P轴上的k个点与X轴上的k个点通过B1,B2,···,Bk对应匹配在了一起，如图14.4所示。

上面的“对应匹配”四个字还是太抽象，我们需要将其进一步描述清楚。函数X将集合Ω中的元素ωi映射成实数（X轴上的点）xi=X(ωi)，那么，X的逆映射将X轴上的点xi映射成什么呢？是不是集合Ω中的元素ωi？答案是否定的，集合Ω中可能有多个元素都被函数X映射成同一个实数！因此，函数X的逆映射X-1将实数轴上的点xi映射成：集合Ω的子集Ai∈Ω（包括空集ϕ），即：

图14.4　对于可测函数X，每一个非空集合B i中的所有元素必须被映射到同一个值。从（非空）集合B 1,B 2,···,B k中的每一个集合里面各取一个元素，取出来的k个元素被映射成X轴上的k个点；而B 1,B 2,···,Bk被映射成P轴上的k个点；最终，P轴上的k个点与X轴上的k个点通过B 1,B 2,···,B k对应匹配在了一起。

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其中，G为由（集合Ω的）子集Ai∈Ω所组成的集族。于是，我们找到了这两组点（P轴上的k个点与X轴上的k个点）之间“对应匹配”的具体过程（如图14.4所示）：首先，通过X的逆映射，将X轴上的k个点映射成集合Ω的一组子集B1,B2,···,Bk；然后，通过概率（函数），将B1,B2,···,Bk映射成P轴上的k个点。

上述两个过程能够“衔接”起来的关键是^[8]：X的逆映射结果能够继续被概率（函数）进行映射！前面关于可测函数的定义正是为了保障这一点。我们也可以直接从这个约束条件出发，给出关于可测函数的另一个（也是很多教科书所普遍采用的）定义：

•可测函数：如果函数X的逆映射X-1:R→G满足G⊆F，也就是说，对于任意ωi∈Ω，都有X-1(X(ωi))∈F，那么，我们称函数X:(Ω,F)→R为可测函数。

我们分别采用直接（即：映射X需要满足的条件）和间接（即：逆映射X-1需要满足的条件）两种方式，对可测函数进行描述，这两个定义是一致的：要使得X-1(X(ωi))∈F对于任意ωi∈Ω都成立，每一个Bj中的所有元素必须被X映射为同一个数；反之亦然。

直接描述方式启发我们将图14.4画了出来；间接描述方式便于用数学符号进行分析和推理：

“过程(1)”要使得“过程(3)”能够顺利进行，也就是说，Ai∈F始终成立。最终，我们可以完善随机变量的定义：

•随机变量：从集合Ω到实数轴R上的可测函数映射X:Ω→R，记为X(ω)，其中ω∈Ω，X(ω)∈R。

对比随机变量（初步）的定义，我们的修正只是加了“可测”两个字。通过上面对可测函数的分析和描述，可以看出，“可测”两个字是下面这句话的缩写，即：

•可以用概率对：通过函数逆映射找到的集合，进行测量。

正如我们前面所提到的：概率是一种对集合的（归一化）测量函数，其定义域为（集合Ω的）σ-代数F。当集合A∈F时，可以通过概率对A进行测量；否则，便不能用概率对其进行测量。

图14.4还留有一个小小的“瑕疵”需要完善，在前面关于可测函数的直接描述中，只要求：同一个Bi中的元素被随机变量X映射成同一个数，即x1=x2=x3和x4=x5=x6，但是，我们并没有强行要求：不同Bi中的元素被随机变量X映射成不同的数，也就是说，可能会出现x1=x2=x3=x4=x5=x6的情况。此时，X轴上只有一个点，而P轴上却有两个不同的点P1和P2，前面描述的“对应匹配”过程“似乎”遇到了问题。

在这种情况下，逆映射X-1的结果是B1∪B2，因此，X轴的那个点x1=x2=x3=x4=x5=x6应当与P(B1∪B2)=P1+P2进行“对应匹配”（而不是与P轴上的两个点P1和P2进行“对应匹配”）。

现在，我们应该对P(X=5)=0.3有一个正确的理解，它的意思并不是：概率P将实数X映射成另一个实数P(X)，当X=5时，对应的函数值是P(5)=0.3。事实上，P(X=5)=0.3的具体形式是P(X-1(5))=0.3，它的意思是：X=5（所对应的）这个事件的概率是0.3。逆映射X-1(5)给出了对应的事件（即：集合Ω的一个子集），（集合测量函数）概率将这个事件映射成了实数0.3。

最终，通过随机变量（一个可测函数X）和概率（一个集合测量函数P），我们成功地将概率空间中的(Ω,F)映射到了一个二维空间XP平面，也就是说，

从而给(Ω,F)空间赋予了数的结构，使得后续的数学分析成为可能。