概率空间及其性质

首先，我们对上面的“概率（初步）”概念进行修正。我们前面提到：集族F是由一组“基本生成单元”B0,B1,B2,···,Bk（称为对集合Ω的分割）通过并运算生成的。这是集族F的基本结构。上面所定义的“概率（初步）”只做了一件事：将集族F映射到实数轴R中[0,1]区间上。同时，我们还需要：将集族F的基本结构也映射过去。具体地说，当我们将这组“基本生成单元”B0,B1,B2,···,Bk映射到实数轴R中[0,1]区间上，得到一组结果P(B0),P(B1),P(B2),···,P(Bk)后，我们希望：可以通过对P(B0),P(B1),P(B2),···,P(Bk)进行（某种单一的）运算，来生成任意子集A∈F的映射结果P(A)。注意：A是B0,B1,B2,···,Bk中某些集合的并（因为A∈F），因此，只需令：

那么，对于任意的A∈F，都可以通过：P(B0),P(B1),P(B2),···,P(Bk)中某些（对应的）值之间的加法，算出A的映射结果（称为A的概率）P(A)。令式(14.5)中的i=0、j=1，可以直接得到P(B1)=P(ϕ)+P(B1)，因此，我们得到如下结论：

那么，对于任意的A∈F，都可以通过：P(B0),P(B1),P(B2),···,P(Bk)中某些（对应的）值之间的加法，算出A的映射结果（称为A的概率）P(A)。令式(14.5)中的i=0、j=1，可以直接得到P(B1)=P(ϕ)+P(B1)，因此，我们得到如下结论：

根据概率（初步）的定义，对于任意A∈F，都有0≤P(A)≤1和0≤≤1（因为∈F），进一步，根据式(14.5)可以得到：

根据概率（初步）的定义，对于任意A∈F，都有0≤P(A)≤1和0≤≤1（因为∈F），进一步，根据式(14.5)可以得到：

因此，对于任意A∈F，都有0≤P(A)≤P(Ω)≤1。我们强行令：于是，P(B1),P(B2),···,P(Bk)正好对应于一组（归一化的）权重系数。直观地理解，就是对（集合Ω的子集）B0,B1,B2,···,Bk进行“测量”后，所得到的（归一化的）测量结果。

最终，我们得到了关于概率的完整定义：

•概率：从集族F到实数轴R中[0,1]区间上的函数映射P:F→[0,1]，记为P(A)，其中A∈F。并且，函数P(A)满足如下3条性质：

1.0≤P(A)≤1

2.P(ϕ)=0，P(Ω)=1

3.∀A,B∈F，如果A∩B=ϕ，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)

简言之，概率是一种对集合的（归一化的）测量方式，“测量”的具体意思是：从集合到实数的映射，也称为集函数或测度。当然，我们更加倾向于一种更加亲切的名称：集合的“质量”（对于离散情况）或“长度”（对于连续情况），因为这些名称能让我们感受到物理测量过程，而“测度”事实上就是这些物理测量过程的数学抽象。

到此为止，我们得到了关于随机性实验结果的完整的描述，包括下面三方面内容：

•所有可能的实验结果：集合Ω={ω1,ω2,···,ωn}

•所有可能的事件：集合Ω的σ-代数F=σ(A1,A2,,···,Am)(www.xing528.com)

•所有事件的权重大小：（集合测量函数）概率P:F→[0,1]

上述三个内容合在一起，所形成的整体(Ω,F,P)，称为概率空间。

因此，对于任意A∈F，都有0≤P(A)≤P(Ω)≤1。我们强行令：于是，P(B1),P(B2),···,P(Bk)正好对应于一组（归一化的）权重系数。直观地理解，就是对（集合Ω的子集）B0,B1,B2,···,Bk进行“测量”后，所得到的（归一化的）测量结果。

最终，我们得到了关于概率的完整定义：

•概率：从集族F到实数轴R中[0,1]区间上的函数映射P:F→[0,1]，记为P(A)，其中A∈F。并且，函数P(A)满足如下3条性质：

1.0≤P(A)≤1

2.P(ϕ)=0，P(Ω)=1

3.∀A,B∈F，如果A∩B=ϕ，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)

简言之，概率是一种对集合的（归一化的）测量方式，“测量”的具体意思是：从集合到实数的映射，也称为集函数或测度。当然，我们更加倾向于一种更加亲切的名称：集合的“质量”（对于离散情况）或“长度”（对于连续情况），因为这些名称能让我们感受到物理测量过程，而“测度”事实上就是这些物理测量过程的数学抽象。

到此为止，我们得到了关于随机性实验结果的完整的描述，包括下面三方面内容：

•所有可能的实验结果：集合Ω={ω1,ω2,···,ωn}

•所有可能的事件：集合Ω的σ-代数F=σ(A1,A2,,···,Am)

•所有事件的权重大小：（集合测量函数）概率P:F→[0,1]

上述三个内容合在一起，所形成的整体(Ω,F,P)，称为概率空间。